108 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Soit U ∈ R
p tel que U = 1 et soit (U n ) n1 la suite telle que U n =
n
n + 1
U . On
a U n =
n
n + 1
U =
n
n + 1
< 1 donc f (U n ) = 0 pour tout n ∈ N. Par ailleurs
U n − U =
1
n + 1
U → 0 lorsque n tend vers + ∞. Ainsi la suite (U n ) converge
vers U mais la suite ( f (U n )) ne converge pas vers f (U ) .
Exercice 5.14
Etudier la continuité des applications définies sur R
2 par
f (x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
3
x 2 + y 2 e
x
2 +y
2
si (x, y) = (0, 0)
0
s i( x, y) = (0, 0).
et g(x, y) =
⎧
⎨
⎩
x
2
x 2 + y 2 e
x
2 +y
2
si (x, y) = (0, 0)
0
s i( x, y) = (0, 0).
Indication : il est souvent utile dans ce genre d’exercice de passer en coordonnées
polaires. Pour tout (x, y) ∈ R
2 , il existe (r , u) ∈ R
+
× R tel que x = r cos u et
y = r sin u (le réel r est alors la norme euclidienne de (x, y)). Si on peut trouver
une fonction h telle que | f (r cos u, r sin u) − f (0, 0)| h(r ) et lim
r→0
h(r ) = 0,
alors f est continue en (0, 0).
Les fonctions f et g sont continues sur R
2
\ {(0, 0)} comme composée, somme,
produit et quotient de fonctions continues. Etudions la continuité en (0, 0).
Pour tout (x, y) ∈ R
2 il existe (r , u) ∈ R
+
× R tel que x = r cos u et y = r sin u.
Nous avons alors
f (x, y) = r cos
3 u × e
r
2
et g(x, y) = cos
2 u × e
r
2
.
On a | f (x, y)| re
r
2 → 0 quand r → 0, donc f est continue au point (0, 0). Elle
est donc continue sur R
2 .
La limite de la fonction r → cos
2 ue
r
2
lorsque r tend vers 0 dépend de u,
donc la fonction g ne peut pas avoir de limite unique en (0, 0). Par exemple,
g(x, 0) = e
x
2
→
x→
=
0
1 et g(x, x) =
1
2
e
2x
2
→
x→
=
0
1
2
= 1. Donc la fonction g n’est pas
continue en (0, 0).