5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 107
• Continuité
◦ On dit que f est continue en a ∈ A lorsque lim
x→a,x∈A
f (x) = f (a).
◦ On dit que f est continue sur A lorsque f est continue en tout point de A.
◦ Cas particulier important : lorsque F est de dimension finie et B = (e 1 , · · · , e n )
est une base de F. En notant pour tout x ∈ A, f (x) =
n
i=1
f i (x) e i , alors f est
continue en a ∈ A (resp. sur A ) si et seulement si pour tout i ∈ [[1, n]], f i est
continue en a (resp. sur A ).
◦ Caractérisation séquentielle de la continuité
La fonction f est continue en a ∈ A si et seulement si pour toute suite (x k ) k∈N
d’éléments de A convergeant vers a, la suite ( f (x k )) k∈N converge vers f (a).
• Si f est lipschitzienne sur A, alors f est continue sur A.
Remarque
Bien entendu, la réciproque est fausse.Par exemple, la fonction x → x
2 est
continue sur [0, +∞[, mais n’est pas lipschitzienne sur [0, +∞[.
Exercice 5.12
L’application définie sur R
3
\ {(0, 0, 0)} par f (X ) =
X
X 2
− X admet-elle une
limite au point (0, 0, 0) ?
On rappelle que si X = (x, y, z), alors X 2 =
x 2 + y 2 + z 2 .
Pour tout n ∈ N
∗ , posons U n = (
1
n
, 0, 0) et V n = (0,
1
n
, 0). On a U n → (0, 0, 0) et
V n → (0, 0, 0) alors que
f (U n ) = (1 −
1
n
, 0, 0) → (1, 0, 0)
f (V n ) = (0, 1 −
1
n
, 0) → (0, 1, 0)
Donc la fonction n’a pas de limite en (0, 0, 0).
Exercice 5.13
Soit p ∈ N
∗ . Montrer que l’application définie sur R
p (muni d’une norme )
par
f (X ) =
1 si X 1
0 si X < 1
n’est continue en aucun vecteur U tel que U = 1.
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