106 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Exercice 5.11
Montrer la caractérisation séquentielle des fermés (question de cours pour les
PSI, effectuer des raisonnements pas l’absurde).
• Soit A un fermé de E. On se donne une suite (x n ) d’éléments de A convergeant
vers ∈ E. Montrons que ∈ A en raisonnant par l’absurde.
Supposons donc /
∈ A c’est-à-dire ∈ E \ A. Comme E \ A est par définition un
ouvert, il existe r > 0 tel que B(, r ) ⊂ E \ A.
Mais comme lim
n→+∞
x n = , il existe un n 0 ∈ N tel que pour tout n n 0 , x n ∈ B(, r )
ce qui est contradictoire avec le fait que x n ∈ A.
• Supposons que toute suite à valeurs dans A convergente a sa limite dans A et
montrons que A est un fermé c’est-à-dire que E \ A est un ouvert en raisonnant
encore par l’absurde.
Supposons que E \ A n’est pas un ouvert c’est-à-dire que l’on n’a pas
∀x ∈ E \ A, ∃r > 0, B(x, r ) ⊂ E \ A,
ce qui s’écrit ∃x ∈ E \ A, ∀r > 0, B(x, r ) E \ A, ce qui revient à dire
∃x ∈ E \ A, ∀r > 0, B(x, r ) ∩ A = ∅. En particulier, en choisissant des réels r de
la forme
1
n
où n ∈ N
∗ , on construit une suite (x n ) n∈N ∗ telle que pour tout n ∈ N
∗ ,
x n ∈ B(x,
1
n
) et x n ∈ A. De x − x n
1
n
, on déduit que lim
n→+∞
x n = x. Par
hypothèse x ∈ A ce qui est contradictoire avec x ∈ E \ A.
5.1.5 Limite de fonctions, continuité
Ce qu’il faut savoir
Soient
E, · · E
et
F, · · F
deux espaces vectoriels normés. Soit A une partie
non vide de E et soit f : A → F.
• Limite Soit a un point adhérent à A et b ∈ F.
◦ On dit que f admet pour limite b en a et on écrit lim
x→a,x∈A
f (x) = b lorsque
∀´ > 0, ∃a > 0, ∀x ∈ A, x − a E a ⇒ ⇒ f (x) − b F ´
Remarque
La limite dépend des normes considérées sur E ou sur F (sauf si on remplace
une norme par une norme équivalente).
◦ Caractérisation séquentielle de la limite
lim
x→a,x∈A
f (x) = b si et seulement si pour toute suite (x k ) k∈N d’éléments de A
convergeant vers a, la suite ( f (x k )) k∈N converge vers b.
Exercice 5.11
Montrer la caractérisation séquentielle des fermés (question de cours pour les
PSI, effectuer des raisonnements pas l’absurde).
• Soit A un fermé de E. On se donne une suite (x n ) d’éléments de A convergeant
vers ∈ E. Montrons que ∈ A en raisonnant par l’absurde.
Supposons donc /
∈ A c’est-à-dire ∈ E \ A. Comme E \ A est par définition un
ouvert, il existe r > 0 tel que B(, r ) ⊂ E \ A.
Mais comme lim
n→+∞
x n = , il existe un n 0 ∈ N tel que pour tout n n 0 , x n ∈ B(, r )
ce qui est contradictoire avec le fait que x n ∈ A.
• Supposons que toute suite à valeurs dans A convergente a sa limite dans A et
montrons que A est un fermé c’est-à-dire que E \ A est un ouvert en raisonnant
encore par l’absurde.
Supposons que E \ A n’est pas un ouvert c’est-à-dire que l’on n’a pas
∀x ∈ E \ A, ∃r > 0, B(x, r ) ⊂ E \ A,
ce qui s’écrit ∃x ∈ E \ A, ∀r > 0, B(x, r ) E \ A, ce qui revient à dire
∃x ∈ E \ A, ∀r > 0, B(x, r ) ∩ A = ∅. En particulier, en choisissant des réels r de
la forme
1
n
où n ∈ N
∗ , on construit une suite (x n ) n∈N ∗ telle que pour tout n ∈ N
∗ ,
x n ∈ B(x,
1
n
) et x n ∈ A. De x − x n
1
n
, on déduit que lim
n→+∞
x n = x. Par
hypothèse x ∈ A ce qui est contradictoire avec x ∈ E \ A.
5.1.5 Limite de fonctions, continuité
Ce qu’il faut savoir
Soient
E, · · E
et
F, · · F
deux espaces vectoriels normés. Soit A une partie
non vide de E et soit f : A → F.
• Limite Soit a un point adhérent à A et b ∈ F.
◦ On dit que f admet pour limite b en a et on écrit lim
x→a,x∈A
f (x) = b lorsque
∀´ > 0, ∃a > 0, ∀x ∈ A, x − a E a ⇒ ⇒ f (x) − b F ´
Remarque
La limite dépend des normes considérées sur E ou sur F (sauf si on remplace
une norme par une norme équivalente).
◦ Caractérisation séquentielle de la limite
lim
x→a,x∈A
f (x) = b si et seulement si pour toute suite (x k ) k∈N d’éléments de A
convergeant vers a, la suite ( f (x k )) k∈N converge vers b.