5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 105
On vient de montrer que tout élément de E \ A est le centre d’une boule ouverte
contenue dans E \ A, donc E \ A est un ouvert de F et par conséquent A est un
fermé de E.
2) D’après la question 1) de l’exercice précédent, E est le seul sous-espace de E qui
soit aussi ouvert.
Exercice 5.10
Mines-Ponts PC 2005, extrait
Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel normé E.
On pose A + B = {x ∈ E | x = a + b où (a, b) ∈ A × B}.
En remarquant que A + B =
b∈B
(A + b), montrer que la somme d’une partie
quelconque et d’un ouvert est un ouvert.
Supposons que A est un ouvert.
• Soit b ∈ B, montrons que A + b est un ouvert.
Soit c ∈ A + b alors il existe a 0 ∈ A tel que c = a 0 + b. Puisque A est ouvert, il
existe r ∈ ]0; +∞[ tel que B(a 0 , r ) ⊂ A. Donc B(a 0 , r ) + b ⊂ A + b. Démontrons
que B(a 0 , r ) + b = B(a 0 + b, r ). Il en découlera que B(a 0 + b, r ) = B(c, r ) ⊂ A + b
et donc que A + b est un ouvert de E.
Pour montrer l’égalité des ensembles, il suffit d’écrire les équivalences
z ∈ B(a 0 + b, r ) ⇔ ⇔a 0 + b − z < r ⇔ ⇔a 0 − (z − b) < r
⇔ z − b ∈ B(a 0 , r ) ⇔ z ∈ b + B(a 0 , r )
• Puisque, pour tout b ∈ B, A + b est un ouvert, l’ensemble A + B =
b∈B
(A + b) est
ouvert en tant que réunion d’ouverts.
Ce qu’il faut savoir
Caractérisation séquentielle des fermés
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie sur K et soit A une partie
de E.
La partie A est un fermé de E si et seulement si toute suite d’éléments de A qui
converge dans E, a sa limite dans A.
Cette caractérisation très utile ne figure qu’au programme de la filière PSI, cependant elle est si utile et naturelle que de nombreux examinateurs aux concours PC
l’utilisent.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
On vient de montrer que tout élément de E \ A est le centre d’une boule ouverte
contenue dans E \ A, donc E \ A est un ouvert de F et par conséquent A est un
fermé de E.
2) D’après la question 1) de l’exercice précédent, E est le seul sous-espace de E qui
soit aussi ouvert.
Exercice 5.10
Mines-Ponts PC 2005, extrait
Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel normé E.
On pose A + B = {x ∈ E | x = a + b où (a, b) ∈ A × B}.
En remarquant que A + B =
b∈B
(A + b), montrer que la somme d’une partie
quelconque et d’un ouvert est un ouvert.
Supposons que A est un ouvert.
• Soit b ∈ B, montrons que A + b est un ouvert.
Soit c ∈ A + b alors il existe a 0 ∈ A tel que c = a 0 + b. Puisque A est ouvert, il
existe r ∈ ]0; +∞[ tel que B(a 0 , r ) ⊂ A. Donc B(a 0 , r ) + b ⊂ A + b. Démontrons
que B(a 0 , r ) + b = B(a 0 + b, r ). Il en découlera que B(a 0 + b, r ) = B(c, r ) ⊂ A + b
et donc que A + b est un ouvert de E.
Pour montrer l’égalité des ensembles, il suffit d’écrire les équivalences
z ∈ B(a 0 + b, r ) ⇔ ⇔a 0 + b − z < r ⇔ ⇔a 0 − (z − b) < r
⇔ z − b ∈ B(a 0 , r ) ⇔ z ∈ b + B(a 0 , r )
• Puisque, pour tout b ∈ B, A + b est un ouvert, l’ensemble A + B =
b∈B
(A + b) est
ouvert en tant que réunion d’ouverts.
Ce qu’il faut savoir
Caractérisation séquentielle des fermés
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie sur K et soit A une partie
de E.
La partie A est un fermé de E si et seulement si toute suite d’éléments de A qui
converge dans E, a sa limite dans A.
Cette caractérisation très utile ne figure qu’au programme de la filière PSI, cependant elle est si utile et naturelle que de nombreux examinateurs aux concours PC
l’utilisent.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit