102 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
5.1.3 Applications lipschitziennes
Ce qu’il faut savoir
• Soient
E, · · E
et
F, · · F
deux espaces vectoriels normés, A ⊂ E et f
une application de A dans F.
◦ On dit que f est lipschitzienne de rapport l sur A lorsque
∀ (x, y) ∈ A
2 , f (x) − f (y) F l x − y E .
◦ On dit que f est lipschitzienne lorsqu’il existe l ∈ R
+ tel que f est
l−lipschitzienne.
◦ Exemple : l’application · · : E → R est 1-lipschitzienne.
◦Remarque : Souvent les exercices de concours sur les fonctions lipschitziennes
portent sur les fonctions réelles d’une variable réelle (voir notre livre d’Analyse
de première année chapitre 11 paragraphe 11.5 et chapitre 14 paragraphe 14.3).
Exercice 5.7
Soit (a, b) ∈ R
2 avec a < b et soit E = C ([a, b] , K) muni des normes classiques f 1 =
b
a
| f (t)| dt, f 2 =
b
a
| f (t)|
2 dt et f ∞ = sup
t∈[a,b]
| f (t)| .
Montrer que l’application f ∈ E → F ( f ) =
b
a
f (t)dt ∈ K est lipschitzienne
pour chacune des normes · · 1 , · · 2 et · · ∞ .
Il est clair que F est un endomorphisme de l’espace vectoriel E.
Soit ( f , g) ∈ E
2 . On a
|F( f ) − F(g)| =
b
a
( f − g)(t)dt
b
a
|( f − g)(t)| dt = f − g 1
(b − a) × sup
t∈[a,b]
|( f − g)(t)| = (b − a) f − g ∞ .
Mais aussi, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a
b
a
( f − g)(t)dt
√
b − a
b
a
|( f − g)(t)|
2 dt =
√
b − a f − g 2 .
Donc F est 1-lipschitzienne pour la norme · · 1 , (b − a) −lipschitzienne pour la
norme · · ∞ et
√
b − a−lipschitzienne pour la norme · · 2 .