5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 103
5.1.4 Topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et soit A ⊂ E.
• Ouverts
◦ On dit que A est un ouvert de E lorsque tout point de A est le centre d’une
boule ouverte contenue dans A, autrement dit
∀a ∈ A, ∃r ∈ ]0, +∞[ | B(a, r ) ⊂ A.
◦ Exemples d’ouverts ∅, E, une boule ouverte sont des ouverts de E.
• Fermés
◦ On dit que A est un fermé de E lorsque son complémentaire E \ A est un ouvert
de E.
◦ Exemples de fermés ∅, E, toute boule fermée sont des fermés de E.
• Réunion et intersection d’ouverts ou de fermés
(i) Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E.
(ii) Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E.
(iii) Toute intersection de fermés de E est un fermé de E.
(iv) Toute réunion finie de fermés de E est un fermé de E.
• Point adhérent : soit A une partie non vide de E et soit x ∈ E.
◦ On dit x est un point adhérent à A lorsque toute boule ouverte de centre x
rencontre A, c’est-à-dire ∀r > 0, B(x, r ) ∩ A = ∅.
Exemple Tout point de A est un point adhérent à A.
◦ Caractérisation séquentielle d’un point adhérent (filière PSI uniquement)
x est un point adhérent à A si et seulement si x est limite d’une suite d’éléments
de A.
• Point intérieur (filière PSI uniquement)
Soit a ∈ A, on dit que a est un point intérieur à A lorsqu’il existe une boule
ouverte de centre a incluse dans A, c’est-à-dire ∃r > 0 tel que B(a, r ) ⊂ A.
Exercice 5.8
Soit E un espace vectoriel normé et soit A un sous-espace vectoriel de E.
1) Montrer que si A est un ouvert, alors A = E.
2) Montrer que s’il existe a ∈ A et r > 0 tel que B(a, r ) ⊂ A, alors A = E.
1) Il est clair que A ⊂ E. Il reste à montrer que E ⊂ A. Comme A est ouvert
et 0 E ∈ A, il existe r > 0 tel que B(0 E , r ) ⊂ A. Soit x ∈ E \ {0 E }, il existe
l > 0 tel que l x ∈ B(0 E , r ) ⊂ A. Il suffit de prendre l =
r
2x
car alors
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5.1.4 Topologie des espaces vectoriels normés de dimension finie
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et soit A ⊂ E.
• Ouverts
◦ On dit que A est un ouvert de E lorsque tout point de A est le centre d’une
boule ouverte contenue dans A, autrement dit
∀a ∈ A, ∃r ∈ ]0, +∞[ | B(a, r ) ⊂ A.
◦ Exemples d’ouverts ∅, E, une boule ouverte sont des ouverts de E.
• Fermés
◦ On dit que A est un fermé de E lorsque son complémentaire E \ A est un ouvert
de E.
◦ Exemples de fermés ∅, E, toute boule fermée sont des fermés de E.
• Réunion et intersection d’ouverts ou de fermés
(i) Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E.
(ii) Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E.
(iii) Toute intersection de fermés de E est un fermé de E.
(iv) Toute réunion finie de fermés de E est un fermé de E.
• Point adhérent : soit A une partie non vide de E et soit x ∈ E.
◦ On dit x est un point adhérent à A lorsque toute boule ouverte de centre x
rencontre A, c’est-à-dire ∀r > 0, B(x, r ) ∩ A = ∅.
Exemple Tout point de A est un point adhérent à A.
◦ Caractérisation séquentielle d’un point adhérent (filière PSI uniquement)
x est un point adhérent à A si et seulement si x est limite d’une suite d’éléments
de A.
• Point intérieur (filière PSI uniquement)
Soit a ∈ A, on dit que a est un point intérieur à A lorsqu’il existe une boule
ouverte de centre a incluse dans A, c’est-à-dire ∃r > 0 tel que B(a, r ) ⊂ A.
Exercice 5.8
Soit E un espace vectoriel normé et soit A un sous-espace vectoriel de E.
1) Montrer que si A est un ouvert, alors A = E.
2) Montrer que s’il existe a ∈ A et r > 0 tel que B(a, r ) ⊂ A, alors A = E.
1) Il est clair que A ⊂ E. Il reste à montrer que E ⊂ A. Comme A est ouvert
et 0 E ∈ A, il existe r > 0 tel que B(0 E , r ) ⊂ A. Soit x ∈ E \ {0 E }, il existe
l > 0 tel que l x ∈ B(0 E , r ) ⊂ A. Il suffit de prendre l =
r
2x
car alors
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