5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 101
(ii) il existe a ∈ E et r ∈ ]0, +∞[ tels que A ⊂ B f (a, r ).
On dit alors que A est une partie bornée de E.
• Pour montrer qu’une partie A n’est pas bornée, on peut exhiber une suite (x n ) n
d’éléments de A telle que
lim
n→+∞
x n = +∞.
Exercice 5.6
Les ensembles suivants sont-ils bornés ?
A = {x sin x | x ∈ R}, B = {(x, y) ∈ R
2
| x
2 + x y + y
2 = 1} et
C = {(x, y) ∈ R
2
| x
2
− y
2 = 1}.
• Pour l’ensemble A, on peut considérer la suite (u n ) définie par u n =
p
2
+ 2np,
n ∈ N.
On a x n = u n sin u n =
p
2
+ 2np →
n→+∞
+∞ donc A n’est pas bornée.
• B est l’ensemble des points d’une conique. Il est facile de voir qu’il s’agit d’une
ellipse (voir réduction des coniques) donc que B est bornée. On peut aussi le montrer
directement en écrivant : x
2 + x y + y
2 =
x +
y
2
2
+
3
4
y
2 donc
(x, y) ∈ B ⇔
x +
y
2
2
+
3
4
y
2 = 1
On a d’une part : (x, y) ∈ B ⇒
3
4
y
2
1 ⇒ |y|
2
√
3
, et d’autre part :
(x, y) ∈ B ⇒ (x +
y
2
)
2
1 ⇒ −1 x +
y
2
1
− 1 −
1
√
3
x 1 +
1
√
3
⇒ |x| 1 +
1
√
3
donc (x, y) ∞ 1 +
1
√
3
et donc B est bornée.
• C est l’ensemble des points d’une hyperbole donc il n’est pas borné. On peut utiliser
la paramétrisation classique x = ch t et y = sh t pour construire une suite de norme
tendant vers +∞. On peut par exemple prendre, (x n , y n ) = (ch n, sh n) ∈ C.
On a (x n , y n ) ∞ = ch n →
n→+∞
+∞ donc C n’est pas bornée.
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