96
Chap. 5. Espaces vectoriels normés
On obtient la figure suivante :
1
2
−1
−2
1
2
−1
−2
5.1.2 Suites convergentes, Normes équivalentes
Ce qu’il faut savoir
• Suites convergentes : Soit
E, · ·
un espace vectoriel normé et soit (x n ) n0
une suite d’éléments de E.
On dit que la suite (x n ) est convergente lorsqu’il existe ∈ E telle que la suite
réelle
x n −
n
converge vers 0, c’est-à-dire si et seulement si :
∀´ > 0, ∃n 0 ∈ N, ∀n ∈ N, n n 0 ⇒ ⇒x n − ´.
Un tel vecteur est alors unique. On dit que la suite (x n ) converge vers ou encore
que est la limite de la suite (x n ), et on note : lim
n→+∞
x n = .
• Normes équivalentes
◦ Soit E un espace vectoriel sur K, N 1 et N 2 deux normes sur E.
Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe a > 0 et b > 0 tels que ∀x ∈ E, aN 1 (x) N 2 (x) bN 1 (x) ;
(ii) toute suite de E convergeant vers 0 pour N 1 converge vers 0 pour N 2 , et vice
versa.
On dit dans ces conditions que N 1 et N 2 sont équivalentes.
◦ Si E est de dimension finie, alors toutes les normes définies sur E sont équivalentes. Par exemple, on a pour tout x ∈ K
n
x ∞ x 1 n x ∞ , x ∞ x 2
√
n x ∞ et x 2 x 1
√
n x 2 .
En pratique on se place dans une base B = (e 1 , . . . , e p ). Un vecteur x de E est
alors défini par ses coordonnées dans la base B. Soit (x n ) une suite d’éléments
de E, avec x n =
p
i=1
x n,i e i . Pour que la suite (x n ) soit convergente, de limite
=
p
i=1
i , il faut et il suffit que chacune des suites numériques (x n,i ) n0 soit
convergente, de limite i . Il est inutile de préciser la norme choisie.