5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 95
◦ boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble
B (a, r ) = {x ∈ E, x − a < r } .
◦ boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble
B f (a, r ) = {x ∈ E, x − a r } .
◦ sphère de centre a et de rayon r l’ensemble
S (a, r ) = {x ∈ E, x − a = r } .
◦ On appelle boule ouverte (resp. boule fermée, sphère) unité l’ensemble B (0, 1)
(resp. B f (0, 1), S (0, 1) ).
Remarque
Une boule est un ensemble convexe.
Exercice 5.1
Ecole de l’Air PC 2005
Montrer que N , définie sur R
2 par N (x, y) = max
|x| , |y| , |x − y|
, est une
norme sur R
2 . Représenter la boule unité ouverte.
N est bien définie et à valeurs dans R
+ . Pour tout (x, y) ∈ R
2 et tout l ∈ R, on a
N (l(x, y)) = max
|lx| , |ly| , |l(x − y)|
= |l| N (x, y) .
De plus N (x, y) = 0 ⇔ x = y = x − y = 0 ⇔ (x, y) = (0, 0).
Montrons enfin l’inégalité triangulaire. Soient (x, y) et (x
, y
) dans R
2 .
N ((x, y) + (x
, y
)) = max
|x + x
| , |y + y
| ,
x + x
−
y + y
.
On a
|x + x
| |x| + |x
| , |y + y
| |y| + |y
|
et
x + x
−
y + y
|x − y| + |x
− y
| .
Donc |x + x
| , |y + y
| et
x + x
−
y + y
sont majorés par
max
|x| , |y| , |x − y|
+ max
|x
| , |y
| , |x
− y
|
= N (x, y) + N (x
, y
),
d’où N ((x, y) + (x
, y
)) N (x, y) + N (x
, y
).
Le couple (x, y) est dans la boule unité si et seulement si max(|x|, |y|, |x − y|) < 1
c’est-à-dire si et seulement si |x| < 1, Ainsi |y| < 1 et |x − y| < 1.
B(0, 1) =
(x, y) ∈ R
2
| |x| < 1, |y| < 1 et |x − y| < 1
.
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