5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 97
◦ Remarque Cela n’est plus vrai en dimension infinie, on montre par exemple
que les trois normes classiques · · 1 , · · 2 et · · ∞ ne sont pas équivalentes sur
C ([a, b] , K) .
Exercice 5.2
On considère les matrices
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
0 0
0
3
5
0
0 0
1
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et B =
⎛
⎝
1
0 0
0 −1 1
0
0 0
⎞
⎠ .
1) Montrer que la suite (A
n ) n∈N ∗ converge et déterminer sa limite.
2) Montrer que la suite (B
n ) n∈N ∗ diverge.
Indication pour la question 2 : Calculer B
2 et B
3 .
1. Pour tout n ∈ N
∗ , A
n =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2 n
0
0
0
3
5
n
0
0
0
1
3 n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
. Chacun des coefficients tend
vers 0 lorsque n tend vers +∞ donc la suite (A
n ) n∈N ∗ converge vers la matrice
nulle.
2. On calcule comme indiqué B
2 =
⎛
⎝
1 0
0
0 1 −1
0 0
0
⎞
⎠ et B
3 = B.
On a pour tout k ∈ N
∗ , B
2k+1 = B et B
2k = B
2 . Donc les suites extraites
(B
2n ) n∈N ∗ et (B
2n+1 ) n∈N convergent vers des limites différentes (B et B
2 ), donc la
suite (B
n ) n∈N ∗ n’est pas convergente.
Exercice 5.3
On considère la matrice A =
⎛
⎝
1
0
0
−2
3
1
4 −4 −1
⎞
⎠ .
Etablir que (A − I 3 )
2 = 0 3 . En déduire A
n . Montrer que la suite
1
n
A
n
n∈N ∗
converge et déterminer sa limite.
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