Pour démontrer que si la famille ( f 1 , . . . , f p ) est libre, alors l’application F définie
plus haut est surjective, on va passer par la contraposée de cette proposition. Supposons que F n’est pas surjective. Alors Im F est inclus dans un hyperplan H de
R
p . Soit (a 1 , . . . , a p ) dans R
p tel que H =
(x 1 , . . . , x p ) ∈ R
p
|
p
i=1
a i x i = 0
.
Remarquons que comme H est un hyperplan, on a (a 1 , . . . , a p ) = (0, . . . , 0).
Comme pour tout x dans E, F(x) appartient à H . On en déduit que pout tout x dans
E, on a
p
i=1
a i f i (x) = 0. Ceci signifie exactement que
p
i=1
a i f i = 0, et comme la
famille (a 1 , . . . , a p ) = (0, . . . , 0) ceci montre que la famille ( f 1 , . . . , f p ) est liée.
Exercice 3.33
Mines Ponts 2005 Ã
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et S l’ensemble des sousespaces vectoriels de E. Trouver les applications d de S dans R
+ telles que :
∀(F, F
) ∈ S
2 , F ∩ F
= {0} ⇒ d(F + F
) = d(F) + d(F
).
On peut commencer par essayer de voir si on ne connaît pas quelques applications
simples de S dans R
+ qui répondent à la condition proposée. On constate sans peine
que l’application nulle et la dimension conviennent, avec un peu d’imagination on
peut même proposer les applications de la forme a dim (où a est un réel positif).
Ces premieres remarques ne donnent pas la réponse à la question question posée
mais permettent au moins d’orienter les recherches ultérieures : il existe de telles
applications, il en existe même plusieures.
L’une des caractéristiques importantes des applications proposées dans la remarque
précédente est qu’elles sont constantes sur les sous-espaces de même dimension.
Par ailleurs, commme E est de dimension finie, tout sous-espace vectoriel H de E
admet une base, par exemple (e 1 , . . . , e p ) et on a H = ⊕
p
i=1 Vect(e i ). On montre par
récurrence que, pour une application d répondant à la condition proposée, on a
d(H ) =
p
i=1
d(Vect(e i )) (1).
Cette dernière remarque amène donc naturellement à examiner comment se comporte
une telle application d sur les droites vectorielles et, suivant la première remarque,
on va essayer de montrer que d est constante sur les droites vectorielles.
Soient H 1 et H 2 deux droites vectorielles de vecteurs directeurs respectifs e 1 et e 2 . On
va montrer que H 1 et H 2 ont un supplémentaire commun. Si e 1 et e 2 sont colinéaires
alors H 1 = H 2 et le résultat est acquis. Sinon, on complète la famille libre (e 1 , e 2 )
en une base (e 1 , . . . , e n ) de E. Le sous-espace H = Vect(e 1 + e 2 , e 3 , . . . , e n ) (réduit à
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
plus haut est surjective, on va passer par la contraposée de cette proposition. Supposons que F n’est pas surjective. Alors Im F est inclus dans un hyperplan H de
R
p . Soit (a 1 , . . . , a p ) dans R
p tel que H =
(x 1 , . . . , x p ) ∈ R
p
|
p
i=1
a i x i = 0
.
Remarquons que comme H est un hyperplan, on a (a 1 , . . . , a p ) = (0, . . . , 0).
Comme pour tout x dans E, F(x) appartient à H . On en déduit que pout tout x dans
E, on a
p
i=1
a i f i (x) = 0. Ceci signifie exactement que
p
i=1
a i f i = 0, et comme la
famille (a 1 , . . . , a p ) = (0, . . . , 0) ceci montre que la famille ( f 1 , . . . , f p ) est liée.
Exercice 3.33
Mines Ponts 2005 Ã
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et S l’ensemble des sousespaces vectoriels de E. Trouver les applications d de S dans R
+ telles que :
∀(F, F
) ∈ S
2 , F ∩ F
= {0} ⇒ d(F + F
) = d(F) + d(F
).
On peut commencer par essayer de voir si on ne connaît pas quelques applications
simples de S dans R
+ qui répondent à la condition proposée. On constate sans peine
que l’application nulle et la dimension conviennent, avec un peu d’imagination on
peut même proposer les applications de la forme a dim (où a est un réel positif).
Ces premieres remarques ne donnent pas la réponse à la question question posée
mais permettent au moins d’orienter les recherches ultérieures : il existe de telles
applications, il en existe même plusieures.
L’une des caractéristiques importantes des applications proposées dans la remarque
précédente est qu’elles sont constantes sur les sous-espaces de même dimension.
Par ailleurs, commme E est de dimension finie, tout sous-espace vectoriel H de E
admet une base, par exemple (e 1 , . . . , e p ) et on a H = ⊕
p
i=1 Vect(e i ). On montre par
récurrence que, pour une application d répondant à la condition proposée, on a
d(H ) =
p
i=1
d(Vect(e i )) (1).
Cette dernière remarque amène donc naturellement à examiner comment se comporte
une telle application d sur les droites vectorielles et, suivant la première remarque,
on va essayer de montrer que d est constante sur les droites vectorielles.
Soient H 1 et H 2 deux droites vectorielles de vecteurs directeurs respectifs e 1 et e 2 . On
va montrer que H 1 et H 2 ont un supplémentaire commun. Si e 1 et e 2 sont colinéaires
alors H 1 = H 2 et le résultat est acquis. Sinon, on complète la famille libre (e 1 , e 2 )
en une base (e 1 , . . . , e n ) de E. Le sous-espace H = Vect(e 1 + e 2 , e 3 , . . . , e n ) (réduit à
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit