Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
H = Vect(e 1 + e 2 ) pour n = 2) est un supplémentaire commun à H 1 et H 2 . On a alors
E = H 1 ⊕ H = H 2 ⊕ H , et par conséquent : d(H 1 ) = d(H 2 ). On a donc montré que
d est constante sur les droites vectorielles. Soit a cette constante. Grâce à la formule
(1) on obtient d(H ) =
p
i=1
d(Vect(e i )) = a p = a dimH .
On a donc montré que toute application de S dans R satisfaisant à la condition de
l’énoncé est de la forme a dim où a est un réel positif.
Exercice 3.34
Mines-Ponts MP 2005
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de l’espace vectoriel C [X ].
1) Montrer que F admet une base dont tous les polynômes ont même degré.
2) Montrer que F admet une base (P i ) 1in telle que la suite (degP i ) soit strictement croissante.
1) Soit n la dimension de F. Soit B = (P 1 , . . . , P n ) une base de F. La famille
(P 1 , . . . , P n ) est finie. Quitte à renuméroter les éléments de la famille B, on peut
donc se ramener à P 1 de degré maximal dans la famille (P 1 , . . . , P n ). On va modifier
la base B = (P 1 , . . . , P n ) de F, en ajoutant P 1 aux éléments qui ne sont pas de degré
maximal et montrer que la famille ainsi obtenue est une base qui vérifie le critère
proposé.
Soit la famille (Q 1 , . . . , Q n ) de polynômes définie par : ∀i ∈ [[1, n]] , Q i = P i +d i P 1 .
où d i est défini par : d i = 1 si degP i < deg(P 1 ) et d i = 0 sinon .
Par construction le degré de Q i est égal au degré de P 1 .
Notons B
la famille (Q 1 , . . . , Q n ).
Comme on ne modifie pas le rang d’une famille de vecteurs en ajoutant à chacun
de ses éléments une combinaison linéaire des autres éléments, la famille B
a même
rang que la famille B, elle est donc libre. Pour tout i dans [[1, n]], le polynôme Q i est
dans F car il est combinaison linéaire d’éléments de B. On a donc une famille libre
d’éléments de F qui est de cardinal n, c’est donc une base de F qui est telle que tous
ses éléments ont même degré.
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur la dimension de F.
Si la dimension de F est égale à 1, toute base de F convient.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Supposons le résultat acquis pour tout sousespace de C [X ] de dimension n − 1.
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n. Par la procédure précédente on
construit une base (Q 1 , . . . , Q n ) de F dont tous les polynômes sont de même degré.
Quitte à multiplier certains de ces polynômes par un scalaire adéquat, on peut se
ramener à une base dont tous les polynômes ont même degré et sont unitaires.
H = Vect(e 1 + e 2 ) pour n = 2) est un supplémentaire commun à H 1 et H 2 . On a alors
E = H 1 ⊕ H = H 2 ⊕ H , et par conséquent : d(H 1 ) = d(H 2 ). On a donc montré que
d est constante sur les droites vectorielles. Soit a cette constante. Grâce à la formule
(1) on obtient d(H ) =
p
i=1
d(Vect(e i )) = a p = a dimH .
On a donc montré que toute application de S dans R satisfaisant à la condition de
l’énoncé est de la forme a dim où a est un réel positif.
Exercice 3.34
Mines-Ponts MP 2005
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de l’espace vectoriel C [X ].
1) Montrer que F admet une base dont tous les polynômes ont même degré.
2) Montrer que F admet une base (P i ) 1in telle que la suite (degP i ) soit strictement croissante.
1) Soit n la dimension de F. Soit B = (P 1 , . . . , P n ) une base de F. La famille
(P 1 , . . . , P n ) est finie. Quitte à renuméroter les éléments de la famille B, on peut
donc se ramener à P 1 de degré maximal dans la famille (P 1 , . . . , P n ). On va modifier
la base B = (P 1 , . . . , P n ) de F, en ajoutant P 1 aux éléments qui ne sont pas de degré
maximal et montrer que la famille ainsi obtenue est une base qui vérifie le critère
proposé.
Soit la famille (Q 1 , . . . , Q n ) de polynômes définie par : ∀i ∈ [[1, n]] , Q i = P i +d i P 1 .
où d i est défini par : d i = 1 si degP i < deg(P 1 ) et d i = 0 sinon .
Par construction le degré de Q i est égal au degré de P 1 .
Notons B
la famille (Q 1 , . . . , Q n ).
Comme on ne modifie pas le rang d’une famille de vecteurs en ajoutant à chacun
de ses éléments une combinaison linéaire des autres éléments, la famille B
a même
rang que la famille B, elle est donc libre. Pour tout i dans [[1, n]], le polynôme Q i est
dans F car il est combinaison linéaire d’éléments de B. On a donc une famille libre
d’éléments de F qui est de cardinal n, c’est donc une base de F qui est telle que tous
ses éléments ont même degré.
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur la dimension de F.
Si la dimension de F est égale à 1, toute base de F convient.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Supposons le résultat acquis pour tout sousespace de C [X ] de dimension n − 1.
Soit F un sous-espace vectoriel de dimension n. Par la procédure précédente on
construit une base (Q 1 , . . . , Q n ) de F dont tous les polynômes sont de même degré.
Quitte à multiplier certains de ces polynômes par un scalaire adéquat, on peut se
ramener à une base dont tous les polynômes ont même degré et sont unitaires.