Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
Il est alors naturel de chercher des polynômes particuliers qui permettront de faire
apparaître des égalités menant à la nullité de tous les a k . On va proposer des polynômes qui devraient vous rappeler les polynômes interpolateurs de Lagrange. Soit,
pour i dans [[1, n]], le polynôme Q i défini par : Q i (X ) = X
j∈[[1,n]]\{i}
X − a j
a i − a j
.
Soit P i le polynôme dérivé de Q i . Par construction Q i est la primitive de P i qui
s’annule en 0.
Pour tout k dans [[1, n]] : L k (P i ) = Q i (a k ) =
0 si k = i
1 si k = i
.
Ainsi, pour tout i dans [[1, n]] :
n
k=1
a k L k (Q i ) = a i = 0.
On en déduit que la famille (L 1 , L 2 , . . . , L n ) est libre.
Comme c’est une famille libre de cardinal n dans un espace de dimension n, la
famille (L 1 , L 2 , . . . , L n ) est une base de E
∗ .
Exercice 3.32
Mines-Ponts 2005
Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie, n dans N
∗ et f 1 , . . . , f p des
formes linéaires sur E. Montrer que ( f 1 , . . . , f p ) est une famille libre de E
∗ si et
seulement si :
∀(l 1 , . . . , l p ) ∈ R
p , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , p} , f i (x) = l i
La propriété à démontrer est équivalente à la proposition suivante : la famille
( f 1 , . . . , f p ) est libre si et seulement si l’application F de E vers R
p qui à x associe
F(x) = ( f 1 (x), . . . , f p (x)) est surjective.
Supposons que : ∀(l 1 , . . . , l p ) ∈ R
p , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , p} , f i (x) = l i .
Soit (a 1 , . . . , a p ) ∈ R
p . Par hypothèse pour tout j dans [[1, p]], il existe x j dans E
tel que : ∀i ∈ [[1, p]] , f i (x j ) = d i j où d i j désigne le symbole de Kronecker. On a
alors :
p
i=1
a i f i = 0 ⇒ ∀x ∈ E,
p
i=1
a i f i (x) = 0
⇒ ∀ j ∈ [[1, p]] ,
p
i=1
a i f i (x j ) = 0
⇒ ∀ j ∈ [[1, p]] , a j = 0
On a montré que la famille ( f 1 , . . . , f p ) est libre.
Il est alors naturel de chercher des polynômes particuliers qui permettront de faire
apparaître des égalités menant à la nullité de tous les a k . On va proposer des polynômes qui devraient vous rappeler les polynômes interpolateurs de Lagrange. Soit,
pour i dans [[1, n]], le polynôme Q i défini par : Q i (X ) = X
j∈[[1,n]]\{i}
X − a j
a i − a j
.
Soit P i le polynôme dérivé de Q i . Par construction Q i est la primitive de P i qui
s’annule en 0.
Pour tout k dans [[1, n]] : L k (P i ) = Q i (a k ) =
0 si k = i
1 si k = i
.
Ainsi, pour tout i dans [[1, n]] :
n
k=1
a k L k (Q i ) = a i = 0.
On en déduit que la famille (L 1 , L 2 , . . . , L n ) est libre.
Comme c’est une famille libre de cardinal n dans un espace de dimension n, la
famille (L 1 , L 2 , . . . , L n ) est une base de E
∗ .
Exercice 3.32
Mines-Ponts 2005
Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie, n dans N
∗ et f 1 , . . . , f p des
formes linéaires sur E. Montrer que ( f 1 , . . . , f p ) est une famille libre de E
∗ si et
seulement si :
∀(l 1 , . . . , l p ) ∈ R
p , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , p} , f i (x) = l i
La propriété à démontrer est équivalente à la proposition suivante : la famille
( f 1 , . . . , f p ) est libre si et seulement si l’application F de E vers R
p qui à x associe
F(x) = ( f 1 (x), . . . , f p (x)) est surjective.
Supposons que : ∀(l 1 , . . . , l p ) ∈ R
p , ∃x ∈ E tel que ∀i ∈ {1, . . . , p} , f i (x) = l i .
Soit (a 1 , . . . , a p ) ∈ R
p . Par hypothèse pour tout j dans [[1, p]], il existe x j dans E
tel que : ∀i ∈ [[1, p]] , f i (x j ) = d i j où d i j désigne le symbole de Kronecker. On a
alors :
p
i=1
a i f i = 0 ⇒ ∀x ∈ E,
p
i=1
a i f i (x) = 0
⇒ ∀ j ∈ [[1, p]] ,
p
i=1
a i f i (x j ) = 0
⇒ ∀ j ∈ [[1, p]] , a j = 0
On a montré que la famille ( f 1 , . . . , f p ) est libre.