2) Montrer l’équivalence des deux propositions :
i) rg ( f + g) = rg f + rg g
ii) Im f ∩ Im g = {0} et Ker f + Ker g = E.
3) Montrer que rg f + rg g − n rg (g ◦ f ) min {rg f , rg g}.
1) Commençons par montrer l’inégalité de droite en comparant Im( f + g) et
Im f + Im g.
Soit x dans E. Si x appartient à Im( f + g), alors il existe x
∈ E tel que
x = f (x
) + g(x
). Il en résulte que x appartient à Im f + Im g. On en déduit que
Im( f + g) ⊂ Im f + Im g. Ainsi dim Im( f + g) dim(Im f + Im g).
Comme dim(Im f + Im g) dim Im f + dim Im g, on a finalement
dim Im( f +g) dim Im f +dim Im g, ce qui est exactement rg ( f +g) rg f +rg g.
Pour montrer l’inégalité de gauche on va utiliser une méthode très classique pour
ce genre d’inégalité en appliquant celle de droite aux fonctions f + g et −g. On
a alors rg ( f + g − g) rg ( f + g) + rg (−g). Comme g et −g ont la même
image, ces deux applications ont même rang et l’inégalité précédente devient
rg f rg ( f + g) + rg g. On en déduit rg f − rg g rg ( f + g) (1). En échangeant
les rôles de f et g, on obtient rg g − rg f rg ( f + g) (2). Les inégalités (1) et
(2) se résument en |rg f − rg g | rg ( f + g).
2) Montrons d’abord que i) entraîne Im f ∩ Im g = {0}. Supposons ainsi que
rg ( f + g) = rg f + rg g. On a déjà dit que Im( f + g) ⊂ (Im f + Im g). On en
déduit, en utilisant la formule de Grassmann, que
dim Im( f + g) dim Im f + dim Im g − dim(Im f ∩ Im g).
La condition rg ( f + g) = rg f + rg g montre alors que dim(Im f ∩ Im g) 0, ce
qui entraîne Im f ∩ Im g = {0}.
Montrons alors qu’on a aussi Ker f +Ker g = E. On va montrer que sous la condition Im f ∩ Im g = {0}, on a dim(Ker f + Ker g) n. La formule de Grassmann
montre que (3) dim(Ker f +Ker g) = dim Ker f +dim Ker g −dim(Ker f ∩Ker g).
Remarquons alors que Ker f ∩ Ker g = Ker( f + g). La première inclusion
Ker f ∩ Ker g ⊂ Ker( f + g) est immédiate. Soit alors x dans Ker( f + g). On a
f (x) = g(−x), ce qui montre que f (x) est dans l’image de f et dans l’image de
g. Le résultat Im f ∩ Im g = {0} montre alors que f (x) = g(x) = 0, et on a donc
x appartient à Ker f ∩ Ker g.
On déduit de l’égalité Ker f ∩ Ker g = Ker( f + g) et du théorème du rang que
dim(Ker f ∩ Ker g) = n − rg ( f + g). En reportant cette égalité dans la relation
(3) et en utilisant à nouveau le théorème du rang pour f et pour g on obtient
dim(Ker f + Ker g) = dim Ker f + dim Ker g − n + rg ( f + g)
= n − rg ( f ) − rg (g) + rg ( f + g).
Or on vient de montrer que rg ( f ) + rg (g) = rg ( f + g). On en déduit que
dim(Ker f + Ker g) = n, ce qui entraîne Ker f + Ker g = E.
Supposons réciproquement que Ker f + Ker g = E et Im f ∩ Im g = {0}. La
i) rg ( f + g) = rg f + rg g
ii) Im f ∩ Im g = {0} et Ker f + Ker g = E.
3) Montrer que rg f + rg g − n rg (g ◦ f ) min {rg f , rg g}.
1) Commençons par montrer l’inégalité de droite en comparant Im( f + g) et
Im f + Im g.
Soit x dans E. Si x appartient à Im( f + g), alors il existe x
∈ E tel que
x = f (x
) + g(x
). Il en résulte que x appartient à Im f + Im g. On en déduit que
Im( f + g) ⊂ Im f + Im g. Ainsi dim Im( f + g) dim(Im f + Im g).
Comme dim(Im f + Im g) dim Im f + dim Im g, on a finalement
dim Im( f +g) dim Im f +dim Im g, ce qui est exactement rg ( f +g) rg f +rg g.
Pour montrer l’inégalité de gauche on va utiliser une méthode très classique pour
ce genre d’inégalité en appliquant celle de droite aux fonctions f + g et −g. On
a alors rg ( f + g − g) rg ( f + g) + rg (−g). Comme g et −g ont la même
image, ces deux applications ont même rang et l’inégalité précédente devient
rg f rg ( f + g) + rg g. On en déduit rg f − rg g rg ( f + g) (1). En échangeant
les rôles de f et g, on obtient rg g − rg f rg ( f + g) (2). Les inégalités (1) et
(2) se résument en |rg f − rg g | rg ( f + g).
2) Montrons d’abord que i) entraîne Im f ∩ Im g = {0}. Supposons ainsi que
rg ( f + g) = rg f + rg g. On a déjà dit que Im( f + g) ⊂ (Im f + Im g). On en
déduit, en utilisant la formule de Grassmann, que
dim Im( f + g) dim Im f + dim Im g − dim(Im f ∩ Im g).
La condition rg ( f + g) = rg f + rg g montre alors que dim(Im f ∩ Im g) 0, ce
qui entraîne Im f ∩ Im g = {0}.
Montrons alors qu’on a aussi Ker f +Ker g = E. On va montrer que sous la condition Im f ∩ Im g = {0}, on a dim(Ker f + Ker g) n. La formule de Grassmann
montre que (3) dim(Ker f +Ker g) = dim Ker f +dim Ker g −dim(Ker f ∩Ker g).
Remarquons alors que Ker f ∩ Ker g = Ker( f + g). La première inclusion
Ker f ∩ Ker g ⊂ Ker( f + g) est immédiate. Soit alors x dans Ker( f + g). On a
f (x) = g(−x), ce qui montre que f (x) est dans l’image de f et dans l’image de
g. Le résultat Im f ∩ Im g = {0} montre alors que f (x) = g(x) = 0, et on a donc
x appartient à Ker f ∩ Ker g.
On déduit de l’égalité Ker f ∩ Ker g = Ker( f + g) et du théorème du rang que
dim(Ker f ∩ Ker g) = n − rg ( f + g). En reportant cette égalité dans la relation
(3) et en utilisant à nouveau le théorème du rang pour f et pour g on obtient
dim(Ker f + Ker g) = dim Ker f + dim Ker g − n + rg ( f + g)
= n − rg ( f ) − rg (g) + rg ( f + g).
Or on vient de montrer que rg ( f ) + rg (g) = rg ( f + g). On en déduit que
dim(Ker f + Ker g) = n, ce qui entraîne Ker f + Ker g = E.
Supposons réciproquement que Ker f + Ker g = E et Im f ∩ Im g = {0}. La