deuxième condition entraîne à nouveau Ker f ∩ Ker g = Ker( f + g). On en déduit
de la même manière que précédemment que
dim(Ker f + Ker g) = n − rg ( f ) + rg (g) − rg ( f + g).
Comme on a par hypothèse dim(Ker f + Ker g) = n, on en déduit que la proposition rg ( f ) + rg (g) = rg ( f + g) est bien vérifiée.
3) Commençons par montrer l’inégalité de droite. Cette inégalité est équivalente
à rg (g ◦ f ) rg f et rg (g ◦ f ) rg g. Comme on a Im(g ◦ f ) ⊂ Im g
on a rg (g ◦ f ) rg g. Par ailleurs on a Ker( f ) ⊂ Ker(g ◦ f ). On en
déduit dim(Ker( f )) dim(Ker(g ◦ f )). Le théorème du rang montre alors
que n − rg ( f ) n − rg (g ◦ f ). On en déduit l’inégalité souhaitée.
Pour montrer l’inégalité de gauche, on introduit la restriction de g à Im f , notée
g | Im f et définie par :
g | Im f : Im f −→ E
x → g(x).
L’ensemble Im f est un espace vectoriel et g | Im f est une application linéaire qui
a même image que g ◦ f .
Soit y dans E. On a les équivalences suivantes :
y ∈ Im g ◦ f ⇔ ∃x ∈ E tel que y = g ◦ f (x)
⇔ ∃x ∈ E tel que y = g( f (x))
⇔ ∃x
∈ Im f tel que y = g(x
)
⇔ y ∈ Im(g | Im f ).
On va donc voir quels sont les renseignements que nous donne le théorème
du rang appliqué à g | Im f et on essaiera d’expliciter son noyau. On a déjà
rg (g ◦ f ) = rg (g | Im f ). En appliquant le théorème du rang à g | Im f on a
dim Im f = rg (g | Im f ) + dim Ker(g | Im f ),
ce dont on déduit
rg f = rg (g ◦ f ) + dim Ker(g | Im f ) .
(4)
On a par ailleurs Ker(g | Im f ) = Ker g ∩ Im f . En effet Soit x dans Ker(g | Im f ),
par définition, on a x dans Im f et g(x) = 0, ce qui est équivalent à x est dans
Ker g ∩ Im f . La relation (4) devient (5) rg f = rg (g ◦ f ) + dim(Ker g ∩ Im f ) .
Comme dim Ker g ∩ Im f dim Ker g n − rg g, on déduit de (5) que
rg f rg (g ◦ f ) + n − rg g, ce qui donne l’inégalité voulue, appelée inégalité de
Sylvester.
Exercice 3.28
Mines-Ponts MP 2005
Soient des entiers n et p tels que 0 < p n. Soit f dans L(R
n , R
p ) et soit g
dans L(R
p , R
n ) telles que f ◦ g = Id R p . Donner le rang et la nature de g ◦ f .
L’application f ◦ g = Id R p est bijective. On en déduit que f est surjective et que g
est injective. Le fait que f est surjective entraîne (1) Im g ◦ f = Im g . Comme g est
injective d’après le théorème du rang : rg g = p. On en déduit rg g ◦ f = p.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
de la même manière que précédemment que
dim(Ker f + Ker g) = n − rg ( f ) + rg (g) − rg ( f + g).
Comme on a par hypothèse dim(Ker f + Ker g) = n, on en déduit que la proposition rg ( f ) + rg (g) = rg ( f + g) est bien vérifiée.
3) Commençons par montrer l’inégalité de droite. Cette inégalité est équivalente
à rg (g ◦ f ) rg f et rg (g ◦ f ) rg g. Comme on a Im(g ◦ f ) ⊂ Im g
on a rg (g ◦ f ) rg g. Par ailleurs on a Ker( f ) ⊂ Ker(g ◦ f ). On en
déduit dim(Ker( f )) dim(Ker(g ◦ f )). Le théorème du rang montre alors
que n − rg ( f ) n − rg (g ◦ f ). On en déduit l’inégalité souhaitée.
Pour montrer l’inégalité de gauche, on introduit la restriction de g à Im f , notée
g | Im f et définie par :
g | Im f : Im f −→ E
x → g(x).
L’ensemble Im f est un espace vectoriel et g | Im f est une application linéaire qui
a même image que g ◦ f .
Soit y dans E. On a les équivalences suivantes :
y ∈ Im g ◦ f ⇔ ∃x ∈ E tel que y = g ◦ f (x)
⇔ ∃x ∈ E tel que y = g( f (x))
⇔ ∃x
∈ Im f tel que y = g(x
)
⇔ y ∈ Im(g | Im f ).
On va donc voir quels sont les renseignements que nous donne le théorème
du rang appliqué à g | Im f et on essaiera d’expliciter son noyau. On a déjà
rg (g ◦ f ) = rg (g | Im f ). En appliquant le théorème du rang à g | Im f on a
dim Im f = rg (g | Im f ) + dim Ker(g | Im f ),
ce dont on déduit
rg f = rg (g ◦ f ) + dim Ker(g | Im f ) .
(4)
On a par ailleurs Ker(g | Im f ) = Ker g ∩ Im f . En effet Soit x dans Ker(g | Im f ),
par définition, on a x dans Im f et g(x) = 0, ce qui est équivalent à x est dans
Ker g ∩ Im f . La relation (4) devient (5) rg f = rg (g ◦ f ) + dim(Ker g ∩ Im f ) .
Comme dim Ker g ∩ Im f dim Ker g n − rg g, on déduit de (5) que
rg f rg (g ◦ f ) + n − rg g, ce qui donne l’inégalité voulue, appelée inégalité de
Sylvester.
Exercice 3.28
Mines-Ponts MP 2005
Soient des entiers n et p tels que 0 < p n. Soit f dans L(R
n , R
p ) et soit g
dans L(R
p , R
n ) telles que f ◦ g = Id R p . Donner le rang et la nature de g ◦ f .
L’application f ◦ g = Id R p est bijective. On en déduit que f est surjective et que g
est injective. Le fait que f est surjective entraîne (1) Im g ◦ f = Im g . Comme g est
injective d’après le théorème du rang : rg g = p. On en déduit rg g ◦ f = p.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit