Exercice 3.25
Centrale MP 2007 Ã
Soient n dans N et A =
P ∈ R n [X ] |
n
k=0
P
(k) (1) = 0
.
1) Montrer que A est un sous-espace vectoriel de R n [X ] et en donner la
dimension.
2) Donner une base de A
1) Soit w l’application de R n [X ] dans R qui à P associe
n
k=0
P
(k) (1). L’application w
est linéaire et A est le noyau de w, par conséquent A est un sous-espace vectoriel
de R n [X ]. Comme w est une forme linéaire non nulle, par exemple w(1) = 1, le
sous-espace vectoriel A est un hyperplan de R n [X ] et on a donc dim A = n.
2) Au vu de l’expression de w, il est naturel d’examiner les valeurs quelle prend en
les Q p = (X − 1)
p pour p dans [[1, n]]. Comme 1 est racine multiple d’ordre
p de Q et que k > p entraîne Q
(k) = 0, on a w((X − 1)
k ) = Q
( p)
p (1) = p!.
On peut alors construire une famille de polynômes échelonnée en degré dont
chacun des éléments est dans le noyau de w : pour p dans [[1, n]] on choisit
H p (X ) = Q p (X )− p! = (X −1)
p
− p!. La famille (H 1 , . . . , H n ) est libre et de cardinal n dans un sous-espace vectoriel de dimension n, c’est donc une base de A.
Exercice 3.26
Soit E un espace vectoriel. Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent. Montrer que le noyau et l’image de f sont stables par g.
Montrons que le noyau de f est stable par g. Soit x dans Ker f . On a f (x) = 0 E ,
donc g( f (x)) = 0 E , alors f (g(x)) = g( f (x)) = 0 E ce qui montre que g(x) est dans
le noyau de f .
Montrons que l’image de f est stable par g. Soit y dans Im f , il existe x dans E tel
que f (x) = y. On a alors g(y) = g( f (x)) = f (g(x)) ce qui montre que g(y) est
dans l’image de f . On a bien sûr également, les endomorphismes f et g jouant des
rôles symétriques, la stabilité du noyau et de l’image de g par f . Ces résultats sont
importants pour l’étude du commutant d’un endomorphisme.
Exercice 3.27
Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2007 Inégalité de Sylvester Ã
Soient f et g dans L(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie n.
1) Montrer que |rg f − rg g| rg ( f + g) rg f + rg g.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Centrale MP 2007 Ã
Soient n dans N et A =
P ∈ R n [X ] |
n
k=0
P
(k) (1) = 0
.
1) Montrer que A est un sous-espace vectoriel de R n [X ] et en donner la
dimension.
2) Donner une base de A
1) Soit w l’application de R n [X ] dans R qui à P associe
n
k=0
P
(k) (1). L’application w
est linéaire et A est le noyau de w, par conséquent A est un sous-espace vectoriel
de R n [X ]. Comme w est une forme linéaire non nulle, par exemple w(1) = 1, le
sous-espace vectoriel A est un hyperplan de R n [X ] et on a donc dim A = n.
2) Au vu de l’expression de w, il est naturel d’examiner les valeurs quelle prend en
les Q p = (X − 1)
p pour p dans [[1, n]]. Comme 1 est racine multiple d’ordre
p de Q et que k > p entraîne Q
(k) = 0, on a w((X − 1)
k ) = Q
( p)
p (1) = p!.
On peut alors construire une famille de polynômes échelonnée en degré dont
chacun des éléments est dans le noyau de w : pour p dans [[1, n]] on choisit
H p (X ) = Q p (X )− p! = (X −1)
p
− p!. La famille (H 1 , . . . , H n ) est libre et de cardinal n dans un sous-espace vectoriel de dimension n, c’est donc une base de A.
Exercice 3.26
Soit E un espace vectoriel. Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent. Montrer que le noyau et l’image de f sont stables par g.
Montrons que le noyau de f est stable par g. Soit x dans Ker f . On a f (x) = 0 E ,
donc g( f (x)) = 0 E , alors f (g(x)) = g( f (x)) = 0 E ce qui montre que g(x) est dans
le noyau de f .
Montrons que l’image de f est stable par g. Soit y dans Im f , il existe x dans E tel
que f (x) = y. On a alors g(y) = g( f (x)) = f (g(x)) ce qui montre que g(y) est
dans l’image de f . On a bien sûr également, les endomorphismes f et g jouant des
rôles symétriques, la stabilité du noyau et de l’image de g par f . Ces résultats sont
importants pour l’étude du commutant d’un endomorphisme.
Exercice 3.27
Mines-Ponts MP 2006, Centrale MP 2007 Inégalité de Sylvester Ã
Soient f et g dans L(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie n.
1) Montrer que |rg f − rg g| rg ( f + g) rg f + rg g.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit