Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
1) Soit x dans E. L’égalité f
p (x) = 0 entraîne f ( f
p (x)) = f
p+1 (x) = 0, d’où
Ker f
p
⊂ Ker f
p+1 .
Soit y dans E. Si y appartient à Im f
p+1 alors il existe x dans E tel que y = f
p+1 (x).
Ainsi y = f
p ( f (x)), ce qui montre que y appartient à Im f
p .
De la relation Ker f
p
⊂ Ker f
p+1 , on déduit que la suite d’entiers (dim Ker f
p ) p∈N
est croissante, elle est par ailleurs majorée par dim E. Cette suite est donc convergente et comme c’est une suite d’entiers elle est stationnaire à partir d’un certain
rang : il existe q dans N tel que p q entraîne dim Ker f
p = dim Ker f
q . Comme on
a de plus Ker f
p
⊂ Ker f
p+1 , on en déduit que p q entraîne Ker f
p = Ker f
p+1 .
Le théorème du rang appliqué à f
p et f
p+1 et la relation Im f
p
⊃ Im f
p+1 montre
que, pour p q, on a également Im f
p = Im f
p+1 .
2) Soit p tel que Ker f
p = Ker f
p+1 . Soit q dans N, soit H q la proposition :
Ker f
p = Ker f
p+q . H 1 est vraie par hypothèse.
Soit q dans N, supposons H q vraie. Soit x dans Ker f
p+q+2 , alors
f
p+q+2 (x) = f
p+q+1 ( f (x)) = 0.
Ainsi f (x) appartient à Ker f
p+q+1 et, d’après H q , il en résulte que f (x) appartient
à Ker f
p+q . On en déduit f
p+q+1 (x) = 0 ce qui montre que x est dans Ker f
p+q+1 .
L’inclusion réciproque ne pose pas de difficulté. On a donc montré que H q+1 est
vraie.
Par principe de récurrence on a H q est vraie pour tout q dans N
∗ . On a montré que si
Ker f
p = Ker f
p+1 alors pour tout q dans N
∗ on a Ker f
p = Ker f
p+q .
3) D’après la relation précédente on a Ker f
p
⊂ Ker f
p+1 et Im f
p
⊃ Im f
p+1 . Le
théorème du rang appliqué à f
p et f
p+1 montre que
dim Ker f
p = dim Ker f
q
⇔ dim Im f
p = dim Im f
q .
On en déduit que (1) ⇔ (2).
Montrons que (2) entraîne (3). Le théorème du rang appliqué à f
p montre qu’on a
dim E = dim Im f
p + dim Ker f
p . Il reste à montrer que Im f
p
∩ Ker f
p = {0}.
Soit z dans Im f
p
∩ Ker f
p . Il existe x dans E tel que z = f
p (x) et f
p (z) = 0.
On en déduit que f
2 p (x) = 0. Or p 1 on a donc, d’après le résultat précédent,
Ker f
p = Ker f
2 p . On en déduit que f
p (x) = 0, ce qui montre que z = 0. On en
déduit que Im f
p
∩ Ker f
p = {0}. Finalement on a bien E = Ker f
p
⊕ Im f
p .
Montrons que (3) entraîne (1).
Soit y dans Im f
p . Il existe x dans E tel que y = f
p (x). Comme on a par hypothèse
E = Ker f
p
⊕Im f
p , il existe (x
, z) dans Ker f
p
× E tel que x = x
+ f
p (z). Comme
p 1 on peut écrire y = f
p (x) = f
p (x
+ f
p (z)) = f
2 p (z) = f
p+1 ( f
p−1 (z)).
( p 1). On en déduit que y appartient à Im f
p+1 . L’inclusion réciproque étant
acquise on a bien Im f
p = Im f
p+1 .
4) La relation proposée est par exemple vérifiée par les projecteurs puisque pour tout
projecteur p, on a E = Ker p ⊕ Im p.