Dire que P(1) = P(0) = 0 signifie qu’il existe Q ∈ K n−2 [X ] tel que
P = X (1 − X )Q, c’est-à-dire qu’il existe (a 0 , . . . , a n−2 ) ∈ K
n tel que
P =
n−2
k=0
a k X
k+1 (1 − X ) =
n
k=2
a k−2 P k
et finalement que P appartient à Vect(P 2 , . . . , P n ).
On en déduit que la condition « w est nulle pour tout polynôme s’annulant en 0 et 1 »
est équivalente à la condition « w est nulle sur P 2 , . . . , P n ».
On sait qu’alors il existe une unique forme linéaire w telle que w(P 1 ) = 1 et telle
que, pour tout k dans [[2, n]], w(P k ) = w(P 0 ) = 0.
3.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 3.23
Mines-Ponts PSI 2007
Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que
dim Ker u dim Ker u
2
2 dim Ker u.
La première inégalité vient de Ker u ⊂ Ker u
2 .
Soit v l’endomorphisme de Im u défini, pour tout x ∈ Im v par v(x) = u(x).
Le théorème du rang donne donc dim Im u = rg u = dim Ker v + rg v. Mais
Im v = Im u
2 et Ker v = Ker u ∩ Im v. On en déduit que rg v = rg u
2 et
dim Ker v dim Ker u. Alors rg u = dim Ker v + rg v dim Ker u + rg u
2 . Ou
encore dim E − dim Ker u dim Ker u + dim E − dim Ker u
2 , d’où l’on déduit
dim Ker u
2
2 dim Ker u.
Exercice 3.24
CCP PSI 2006
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f dans L(E) un endomorphisme de E.
1) Vérifier que pour tout p dans N, on a Ker f
p
⊂ Ker f
p+1 et Im f
p
⊃ Im f
p+1 .
Montrer que les suites (Ker f
p ) p∈N et (Im f
p ) p∈N sont stationnaires à partir
d’un certain rang.
2) Montrer que pour p dans N
∗ , si Ker f
p = Ker f
p+1 alors pour tout q dans N
on a Ker f
p = Ker f
p+q .
3) Soit p dans N
∗ . Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(1) Im f
p = Im f
p+1 , (2) Ker f
p = Ker f
p+1 , (3) E = Ker f
p
⊕ Im f
p .
4) Donner des exemples d’endomorphismes f pour lesquels E = Ker f ⊕ Im f .
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