Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
que l 1 f 1 + l 2 f 2 + l 3 f 3 = 0 E ∗ . L’égalité précédente signifie que pour tout (x, y, z)
dans R
3 , on a l 1 f 1 (x, y, z) + l 2 f 2 (x, y, z) + l 3 f 3 (x, y, z) = 0 E . On en déduit que
pour tout (x, y, z) dans R
3 on l 1 (y + z) + l 2 (z + x) + l 3 (y + x) = 0 E . En évaluant cette dernière égalité en (x, y, z) = (1, 0, 0), puis (x, y, z) = (0, 1, 0) et enfin
(x, y, z) = (0, 0, 1), on obtient un système linéaire en (l 1 , l 2 , l 3 ), dont la résolution
mène à (l 1 , l 2 , l 3 ) = (0, 0, 0). On en déduit que cette famille est libre. Comme elle
est de cardinal 3 dans un espace de dimension 3, c’est une base de E
∗ .
• Déterminons (e 1 , e 2 , e 3 ) la base anté-duale de f 1 , f 2 . Cette base (e 1 , e 2 , e 3 ) est
définie par les conditions : pour tout (i, j) dans [[1, 3]]
2 on a f i (e j ) = d i j . En
notant (x i , y i , z i ) les coordonnées de e i dans la base canonique, déterminer (e 1 , e 2 , e 3 )
revient à résoudre les systèmes :
⎧
⎨
⎩
y 1 + z 1 = 1
x 1 + z 1 = 0
x 1 + y 1 = 0.
⎧
⎨
⎩
y 2 + z 2 = 0
x 2 + z 2 = 1
x 2 + y 2 = 0.
⎧
⎨
⎩
y 3 + z 3 = 1
x 3 + z 3 = 0
x 3 + y 3 = 0.
.
Résoudre chacun de ces systèmes est équivalent à inverser la matrice M =
⎛
⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞
⎠ .
On obtient M
−1 =
1
2
⎛
⎝
−1
1
1
1 −1
1
1
1 −1
⎞
⎠ . On remarquera que M est la matrice des
coordonnées de la famille (f 1 , f 2 , f 3 ) dans la base duale canonique de (R
3 )
∗ . Son
inversibilité nous indique que cette famille est libre, ce qui nous permet de retrouver
le fait que c’est une base de E
∗ .
On en déduit
⎛
⎝
x 1
y 1
z 1
⎞
⎠ = M
−1
⎛
⎝
1
0
0
⎞
⎠ =
1
2
⎛
⎝
−1
1
1
⎞
⎠ . De la même manière on obtient
(x 2 , y 2 , z 2 ) =
1
2
, −
1
2
,
1
2
et (x 3 , y 3 , z 3 ) =
1
2
,
1
2
, −
1
2
.
Exercice 3.22
TPE MP 2005
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu’il existe une et une seule
forme linéaire w sur K n [X ] qui envoie 1 sur 0, X sur 1 et qui est nulle pour tout
polynôme s’annulant en 0 et 1.
Considérons la famille de polynômes (P 0 , . . . , P n ) définie par : P 0 = 1, P 1 = X et
pour k dans [[2, n]], P k = X
k−1 (1 − X ). Cette famille est échelonnée en degré et de
cardinal n + 1, c’est donc une base de K n [X ].
que l 1 f 1 + l 2 f 2 + l 3 f 3 = 0 E ∗ . L’égalité précédente signifie que pour tout (x, y, z)
dans R
3 , on a l 1 f 1 (x, y, z) + l 2 f 2 (x, y, z) + l 3 f 3 (x, y, z) = 0 E . On en déduit que
pour tout (x, y, z) dans R
3 on l 1 (y + z) + l 2 (z + x) + l 3 (y + x) = 0 E . En évaluant cette dernière égalité en (x, y, z) = (1, 0, 0), puis (x, y, z) = (0, 1, 0) et enfin
(x, y, z) = (0, 0, 1), on obtient un système linéaire en (l 1 , l 2 , l 3 ), dont la résolution
mène à (l 1 , l 2 , l 3 ) = (0, 0, 0). On en déduit que cette famille est libre. Comme elle
est de cardinal 3 dans un espace de dimension 3, c’est une base de E
∗ .
• Déterminons (e 1 , e 2 , e 3 ) la base anté-duale de f 1 , f 2 . Cette base (e 1 , e 2 , e 3 ) est
définie par les conditions : pour tout (i, j) dans [[1, 3]]
2 on a f i (e j ) = d i j . En
notant (x i , y i , z i ) les coordonnées de e i dans la base canonique, déterminer (e 1 , e 2 , e 3 )
revient à résoudre les systèmes :
⎧
⎨
⎩
y 1 + z 1 = 1
x 1 + z 1 = 0
x 1 + y 1 = 0.
⎧
⎨
⎩
y 2 + z 2 = 0
x 2 + z 2 = 1
x 2 + y 2 = 0.
⎧
⎨
⎩
y 3 + z 3 = 1
x 3 + z 3 = 0
x 3 + y 3 = 0.
.
Résoudre chacun de ces systèmes est équivalent à inverser la matrice M =
⎛
⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎞
⎠ .
On obtient M
−1 =
1
2
⎛
⎝
−1
1
1
1 −1
1
1
1 −1
⎞
⎠ . On remarquera que M est la matrice des
coordonnées de la famille (f 1 , f 2 , f 3 ) dans la base duale canonique de (R
3 )
∗ . Son
inversibilité nous indique que cette famille est libre, ce qui nous permet de retrouver
le fait que c’est une base de E
∗ .
On en déduit
⎛
⎝
x 1
y 1
z 1
⎞
⎠ = M
−1
⎛
⎝
1
0
0
⎞
⎠ =
1
2
⎛
⎝
−1
1
1
⎞
⎠ . De la même manière on obtient
(x 2 , y 2 , z 2 ) =
1
2
, −
1
2
,
1
2
et (x 3 , y 3 , z 3 ) =
1
2
,
1
2
, −
1
2
.
Exercice 3.22
TPE MP 2005
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu’il existe une et une seule
forme linéaire w sur K n [X ] qui envoie 1 sur 0, X sur 1 et qui est nulle pour tout
polynôme s’annulant en 0 et 1.
Considérons la famille de polynômes (P 0 , . . . , P n ) définie par : P 0 = 1, P 1 = X et
pour k dans [[2, n]], P k = X
k−1 (1 − X ). Cette famille est échelonnée en degré et de
cardinal n + 1, c’est donc une base de K n [X ].