• Dualité en dimension finie On suppose E de dimension n.
◦ Le dual de E est de dimension finie et dim E
∗ = dim E.
◦ Base duale : soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Il existe une unique base de
E
∗ , appelée base duale de B, notée (e
∗
1 , . . . , e
∗
n ) telle que :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]
2 , e
∗
i (e j ) = d i j .
◦ Base anté-duale : Soit L une base de E
∗ , il existe une unique base B de E
appelée base anté-duale de L telle que L soit la base duale de B.
Exercice 3.20
ENSEA MP 2006
On note E = R n [X ]. Soit a dans R. Montrer que les polynômes Q k = (X − a)
k ,
0 k n, forment une base de E. Quelle en est la base duale ?
La famille proposée est une famille de polynômes échelonnés en degré, elle est donc
libre. Par ailleurs, elle est de cardinal n + 1 dans un espace de dimension n + 1 ; c’est
donc une base de R n [X ]. On aurait pu également montrer qu’elle est génératrice en
utilisant la formule de Taylor :
∀P ∈ R n [X ] , P(X ) =
n
k=0
P
(k) (a)
k!
(X − a)
k .
C’est d’ailleurs cette formule qui va nous permettre de trouver la base duale de la
famille proposée. Soit, pour k dans [[0, n]], l’application linéaire w k définie sur R n [X ]
par w k (P) =
P
(k) (a)
k!
.
Soit alors k dans [[0, n]]. Si j < k alors w k (Q j ) = 0 car la dérivée k-ième d’un
polynôme de degré j est nulle. Si j > k alors w k (Q j ) = 0 car a est racine d’ordre
j de Q j . On constate de plus que w k (Q k ) = 1. On a bien montré que la famille
(w 0 , . . . , w n ) est la base duale de (Q 0 , . . . , Q n ).
Exercice 3.21
TPE MP 2005
Soient f 1 , f 2 et f 3 les formes linéaires définies sur E = R
3 par
⎧
⎨
⎩
f 1 (x, y, z) = y + z
f 2 (x, y, z) = x + z
f 3 (x, y, z) = x + y
.
Montrer que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de E
∗ . Déterminer sa base anté-duale.
• Comme E
∗ est de dimension 3, pour montrer que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de
E
∗ , il suffit de montrer que cette famille est libre. Soient (l 1 , l 2 , l 3 ) dans R
3 , tels
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
◦ Le dual de E est de dimension finie et dim E
∗ = dim E.
◦ Base duale : soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base de E. Il existe une unique base de
E
∗ , appelée base duale de B, notée (e
∗
1 , . . . , e
∗
n ) telle que :
∀(i, j) ∈ [[1, n]]
2 , e
∗
i (e j ) = d i j .
◦ Base anté-duale : Soit L une base de E
∗ , il existe une unique base B de E
appelée base anté-duale de L telle que L soit la base duale de B.
Exercice 3.20
ENSEA MP 2006
On note E = R n [X ]. Soit a dans R. Montrer que les polynômes Q k = (X − a)
k ,
0 k n, forment une base de E. Quelle en est la base duale ?
La famille proposée est une famille de polynômes échelonnés en degré, elle est donc
libre. Par ailleurs, elle est de cardinal n + 1 dans un espace de dimension n + 1 ; c’est
donc une base de R n [X ]. On aurait pu également montrer qu’elle est génératrice en
utilisant la formule de Taylor :
∀P ∈ R n [X ] , P(X ) =
n
k=0
P
(k) (a)
k!
(X − a)
k .
C’est d’ailleurs cette formule qui va nous permettre de trouver la base duale de la
famille proposée. Soit, pour k dans [[0, n]], l’application linéaire w k définie sur R n [X ]
par w k (P) =
P
(k) (a)
k!
.
Soit alors k dans [[0, n]]. Si j < k alors w k (Q j ) = 0 car la dérivée k-ième d’un
polynôme de degré j est nulle. Si j > k alors w k (Q j ) = 0 car a est racine d’ordre
j de Q j . On constate de plus que w k (Q k ) = 1. On a bien montré que la famille
(w 0 , . . . , w n ) est la base duale de (Q 0 , . . . , Q n ).
Exercice 3.21
TPE MP 2005
Soient f 1 , f 2 et f 3 les formes linéaires définies sur E = R
3 par
⎧
⎨
⎩
f 1 (x, y, z) = y + z
f 2 (x, y, z) = x + z
f 3 (x, y, z) = x + y
.
Montrer que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de E
∗ . Déterminer sa base anté-duale.
• Comme E
∗ est de dimension 3, pour montrer que (f 1 , f 2 , f 3 ) est une base de
E
∗ , il suffit de montrer que cette famille est libre. Soient (l 1 , l 2 , l 3 ) dans R
3 , tels
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