• Soit p l’indice de nilpotence de f . Soit x tel que f
p−1 (x) = 0 E , la famille
(x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) est libre.
• L’indice de nilpotence de f est inférieur ou égal à n.
Exercice 3.19
D’après CCP MP 2006
1) Soit E un K-espace vectoriel et f dans L(E). Montrer que si f est nilpotent
d’indice de nilpotence p 1, alors Id E − f est bijective et a pour réciproque
f
−1 =
p−1
i=0
f
i .
2) Soient E = R n [X ] et f dans L(E) définie par : ∀P ∈ E, f (P) = P − P
.
Montrer que f est inversible et calculer son inverse.
1) Un simple calcul montre que ( f −Id E )◦
p−1
i=0
f
i =
p−1
i=0
( f
i
− f
i+1 ) = Id E − f
p = Id E .
On en déduit que f est bijective de réciproque f
−1 =
p−1
i=0
f
i .
2) Soit g l’application définie pour tout P ∈ E par g(P) = P
. On a f = Id E −g
et g
n+1 = 0. Le résultat précédent montre que f est bijective et a pour réciproque f
−1 = Id E +
n
i=0
g
i . Ainsi, f
−1 est définie pour tout P ∈ E par
f
−1 (P) =
n
k=0
P
(k) , où P
(k) désigne la k-ième dérivée du polynôme P.
Remarque
On a déjà traité la deuxième question avec deux autres points de vue dans l’exercice 3.9 page 59.
3.1.8 Dualité
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel.
• On appelle dual de E le K-espace vectoriel des formes linéaires sur E et on le
note E
∗ .