3.1.7 Endomorphismes nilpotents
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel et soit f ∈ L(E). On dit que f est un endomorphisme nilpotent lorsqu’il existe p ∈ N tel que f
p est l’endomorphisme nul sur
E. On utilisera l’abus de notation f
p = 0.
Si f un endomorphisme nilpotent sur E, alors il existe un unique entier p dans
N
∗ tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0. On appelle cet entier indice de nilpotence de f .
Exemple : Soit n ∈ N. La dérivation sur R n [X ] est un endomorphisme nilpotent
d’indice n + 1.
Exercice 3.18
CCP PSI 2005 majoration de l’indice de nilpotence
Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit f dans L(E). On suppose qu’il
existe p tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0. Montrer que f
n = 0.
Indication de la rédaction :
On pourra s’intéresser à la famille (x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) où x est tel que
f
p−1 (x) = 0.
Remarquons que si p est inférieur ou égal à n, on a f
n = f
p
◦ f
n− p = 0 et le résultat
est acquis. On va montrer qu’on a toujours p inférieur à n.
Par hypothèse, il existe x dans E tel que f
p−1 (x) = 0. On va montrer que la famillle
(x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) est libre.
Soit (a 0 , . . . , a p−1 ) dans R
p tel que
p−1
i=0
a i f
i (x) = 0 (1).
En composant cette égalité par f
p−1 et sachant que f
p = 0, on obtient :
a 0 f
p−1 (x) = 0. Comme f
p−1 (x) = 0 on en déduit a 0 = 0. L’égalité (1) se
simplifie en
p−1
i=1
a i f
i (x) = 0. En composant cette fois par f
p−2 , on montre que a 1
est nul, puis en réitérant ce procédé on montre que tous les a i sont nuls. On a ainsi
montré que la famille (x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) est libre. Son cardinal est donc plus
petit que la dimension de E, ce qui montre que p n.
Ce qu’il faut savoir
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme nilpotent
de E.
• L’entier p tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0 est appelé indice de nilpotence de f .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel et soit f ∈ L(E). On dit que f est un endomorphisme nilpotent lorsqu’il existe p ∈ N tel que f
p est l’endomorphisme nul sur
E. On utilisera l’abus de notation f
p = 0.
Si f un endomorphisme nilpotent sur E, alors il existe un unique entier p dans
N
∗ tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0. On appelle cet entier indice de nilpotence de f .
Exemple : Soit n ∈ N. La dérivation sur R n [X ] est un endomorphisme nilpotent
d’indice n + 1.
Exercice 3.18
CCP PSI 2005 majoration de l’indice de nilpotence
Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit f dans L(E). On suppose qu’il
existe p tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0. Montrer que f
n = 0.
Indication de la rédaction :
On pourra s’intéresser à la famille (x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) où x est tel que
f
p−1 (x) = 0.
Remarquons que si p est inférieur ou égal à n, on a f
n = f
p
◦ f
n− p = 0 et le résultat
est acquis. On va montrer qu’on a toujours p inférieur à n.
Par hypothèse, il existe x dans E tel que f
p−1 (x) = 0. On va montrer que la famillle
(x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) est libre.
Soit (a 0 , . . . , a p−1 ) dans R
p tel que
p−1
i=0
a i f
i (x) = 0 (1).
En composant cette égalité par f
p−1 et sachant que f
p = 0, on obtient :
a 0 f
p−1 (x) = 0. Comme f
p−1 (x) = 0 on en déduit a 0 = 0. L’égalité (1) se
simplifie en
p−1
i=1
a i f
i (x) = 0. En composant cette fois par f
p−2 , on montre que a 1
est nul, puis en réitérant ce procédé on montre que tous les a i sont nuls. On a ainsi
montré que la famille (x, f (x), . . . , f
p−1 (x)) est libre. Son cardinal est donc plus
petit que la dimension de E, ce qui montre que p n.
Ce qu’il faut savoir
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme nilpotent
de E.
• L’entier p tel que f
p = 0 et f
p−1
= 0 est appelé indice de nilpotence de f .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit