1) Montrer que la somme des F i est directe.
2) Montrer que si H 1 ⊕ · · · ⊕ H n = F 1 ⊕ · · · ⊕ F n , alors pour tout i dans [[1, n]],
on a F i = H i .
1) Soit (x 1 , . . . , x n ) dans F 1 × · · · × F n tel que x 1 + · · · + x n = 0 E . Comme pour tout i
dans [[1, n]], on a F i ⊂ H i , on en déduit que (x 1 , . . . , x n ) appartient à H 1 ×· · ·× H n
et comme la somme des H 1 , . . . , H n est directe, on en déduit que pour tout i dans
[[1, n]], on a x i = 0 E .
2) Soit i dans [[1, n]]. On a déjà F i ⊂ H i . Soit y i dans H i . Le vecteur y i est dans
H 1 ⊕ · · · ⊕ H n , par hypothèse il est donc également dans F 1 ⊕ · · · ⊕ F n . Il existe
ainsi (x 1 , . . . , x n ) dans F 1 × · · · × F n tel que x 1 + · · · + x n = y i . Soit alors les
vecteurs z 1 , . . . , z n définis par : pour k = i , z k = x k et z i = x i − y i . Pour tout k
dans [[1, n]] le vecteur z k est dans H k et on a z 1 +· · ·+z n = 0 E . Comme H 1 , . . . , H n
sont des sous-espaces vectoriels qui sont en somme directe, on en déduit que pour
tout k dans [[1, n]], on a z k = 0 E . En particulier z i = 0 E ce qui entraîne y i = x i .
On peut aussi obtenir ce résultat en invoquant l’unicité de l’écriture de y i dans la
somme directe H 1 ⊕ · · · ⊕ H n . On en déduit que y i est dans F i . On a montré ainsi
que H i ⊂ F i .
Exercice 3.17
ENSEA PC 2006
Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F.
Soient G et H deux sous-espaces vectoriels de E.
1) Montrer que f (G + H ) = f (G) + f (H ).
2) Montrer que si f est injective et si la somme G + H est directe, alors
f (G ⊕ H ) = f (G) ⊕ f (H )
1) Soit y ∈ E, on a :
y ∈ f (G + H ) ⇔ ∃(x 1 , x 2 ) ∈ G × H tel que f (x 1 + x 2 ) = y
⇔ ∃(x 1 , x 2 ) ∈ G × H tel que f (x 1 ) + f (x 2 ) = y
⇔ ∃(y 1 , y 2 ) ∈ f (G) × f (H ) tel que y = y 1 + y 2
⇔ y ∈ f (G) + f (H ).
On a donc ainsi montré que f (G + H ) = f (G) + f (H ).
2) D’après la question précédente on sait que f (G ⊕ H ) = f (G) + f (H ). Il ne reste
plus qu’à montrer que f (G) + f (H ) = f (G) ⊕ f (H ). Soient y 1 dans f (F) et y 2 dans
f (G) tels que y 1 + y 2 = 0 F . Il existe x 1 dans G et x 2 dans H tel que f (x 1 ) = y 1 et
f (x 2 ) = y 2 . On a donc f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (x 1 + x 2 ) = 0 F . Comme f est injective,
on en déduit que x 1 + x 2 = 0 E . Et puisque la somme F + G est directe, on en déduit
que x 1 = x 2 = 0 E ce qui entraîne y 1 = y 2 = 0 F . On a bien montré que la somme
f (F) + f (G) est directe.
2) Montrer que si H 1 ⊕ · · · ⊕ H n = F 1 ⊕ · · · ⊕ F n , alors pour tout i dans [[1, n]],
on a F i = H i .
1) Soit (x 1 , . . . , x n ) dans F 1 × · · · × F n tel que x 1 + · · · + x n = 0 E . Comme pour tout i
dans [[1, n]], on a F i ⊂ H i , on en déduit que (x 1 , . . . , x n ) appartient à H 1 ×· · ·× H n
et comme la somme des H 1 , . . . , H n est directe, on en déduit que pour tout i dans
[[1, n]], on a x i = 0 E .
2) Soit i dans [[1, n]]. On a déjà F i ⊂ H i . Soit y i dans H i . Le vecteur y i est dans
H 1 ⊕ · · · ⊕ H n , par hypothèse il est donc également dans F 1 ⊕ · · · ⊕ F n . Il existe
ainsi (x 1 , . . . , x n ) dans F 1 × · · · × F n tel que x 1 + · · · + x n = y i . Soit alors les
vecteurs z 1 , . . . , z n définis par : pour k = i , z k = x k et z i = x i − y i . Pour tout k
dans [[1, n]] le vecteur z k est dans H k et on a z 1 +· · ·+z n = 0 E . Comme H 1 , . . . , H n
sont des sous-espaces vectoriels qui sont en somme directe, on en déduit que pour
tout k dans [[1, n]], on a z k = 0 E . En particulier z i = 0 E ce qui entraîne y i = x i .
On peut aussi obtenir ce résultat en invoquant l’unicité de l’écriture de y i dans la
somme directe H 1 ⊕ · · · ⊕ H n . On en déduit que y i est dans F i . On a montré ainsi
que H i ⊂ F i .
Exercice 3.17
ENSEA PC 2006
Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application linéaire de E dans F.
Soient G et H deux sous-espaces vectoriels de E.
1) Montrer que f (G + H ) = f (G) + f (H ).
2) Montrer que si f est injective et si la somme G + H est directe, alors
f (G ⊕ H ) = f (G) ⊕ f (H )
1) Soit y ∈ E, on a :
y ∈ f (G + H ) ⇔ ∃(x 1 , x 2 ) ∈ G × H tel que f (x 1 + x 2 ) = y
⇔ ∃(x 1 , x 2 ) ∈ G × H tel que f (x 1 ) + f (x 2 ) = y
⇔ ∃(y 1 , y 2 ) ∈ f (G) × f (H ) tel que y = y 1 + y 2
⇔ y ∈ f (G) + f (H ).
On a donc ainsi montré que f (G + H ) = f (G) + f (H ).
2) D’après la question précédente on sait que f (G ⊕ H ) = f (G) + f (H ). Il ne reste
plus qu’à montrer que f (G) + f (H ) = f (G) ⊕ f (H ). Soient y 1 dans f (F) et y 2 dans
f (G) tels que y 1 + y 2 = 0 F . Il existe x 1 dans G et x 2 dans H tel que f (x 1 ) = y 1 et
f (x 2 ) = y 2 . On a donc f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (x 1 + x 2 ) = 0 F . Comme f est injective,
on en déduit que x 1 + x 2 = 0 E . Et puisque la somme F + G est directe, on en déduit
que x 1 = x 2 = 0 E ce qui entraîne y 1 = y 2 = 0 F . On a bien montré que la somme
f (F) + f (G) est directe.