• Par ailleurs, soit pour i dans [[1, n]], une base (x i1 , . . . , x iq i ) de E i , où q i est la
dimension de E i
E =
n
i=1
E i ⇔
(x 11 , . . . , x 1q 1 , x 21 , . . . , x 2q 2 , . . . , x n1 . . . , x nq n )
est une base de E.
• Somme directe et projecteurs
Soit (E 1 , . . . , E n ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. Alors E =
n
i=1
E i
si et seulement si il existe une (unique) famille ( p 1 , . . . , p n ) de projecteurs de E
tels que :
1) ∀i ∈ [[1, n]] , Im p i = E i .
2) ∀(i , j) ∈ [[1, n]]
2 , i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
3)
n
i=1
p i = Id E .
• Construction d’applications linéaires
Soient E 1 , . . . , E n des sous-epaces vectoriels de E tels que E =
n
i=1
E i et F un
K-espace vectoriel. Soit pour tout i dans [[1, n]] une application linéaire u i dans
L(E i , F). Il existe une unique application linéaire u dans L(E, F) telle que pour
tout i dans [[1, n]], la restriction u |E i de u à E i soit égale à u i .
Exercice 3.15
Soit E un K-espace vectoriel et E 1 , E 2 , E 3 et E 4 quatre sous-espaces
vectoriels tels que (E 1 + E 2 ) + (E 3 + E 4 ) = (E 1 + E 2 ) ⊕ (E 3 + E 4 ) et
(E 1 + E 3 ) + (E 2 + E 4 ) = (E 1 + E 3 ) ⊕ (E 2 + E 4 ). Montrer que la somme
E 1 + E 2 + E 3 + E 4 est directe.
Soit (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) dans E 1 × E 2 × E 3 × E 4 tel que x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 E . Le vecteur
x 1 + x 2 = −(x 3 + x 4 ) est dans (E 1 + E 2 ) ∩ (E 3 + E 4 ) il est donc nul. De même le
vecteur x 1 + x 3 = −(x 2 + x 4 ) est dans (E 1 + E 3 ) ∩ (E 2 + E 4 ) il est donc nul. On en
déduit x 1 = −x 2 = −x 3 = x 4 , ce qui montre que x 1 est dans E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ∩ E 4 .
Comme on a E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ∩ E 4 ⊂ (E 1 + E 2 ) ∩ (E 3 + E 4 ), on en déduit que x 1 est nul
et par suite x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 E . On a montré que la somme des sous-espaces
E 1 , E 2 , E 3 et E 4 est directe.
Exercice 3.16
Soit E un K-espace vectoriel. Soient H 1 , . . . , H n des sous-espaces vectoriels tels
que leur somme est directe. Soient F 1 , . . . , F n des sous-espaces vectoriels de E
tels que pour tout i dans [[1, n]], on a F i ⊂ H i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
dimension de E i
E =
n
i=1
E i ⇔
(x 11 , . . . , x 1q 1 , x 21 , . . . , x 2q 2 , . . . , x n1 . . . , x nq n )
est une base de E.
• Somme directe et projecteurs
Soit (E 1 , . . . , E n ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. Alors E =
n
i=1
E i
si et seulement si il existe une (unique) famille ( p 1 , . . . , p n ) de projecteurs de E
tels que :
1) ∀i ∈ [[1, n]] , Im p i = E i .
2) ∀(i , j) ∈ [[1, n]]
2 , i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
3)
n
i=1
p i = Id E .
• Construction d’applications linéaires
Soient E 1 , . . . , E n des sous-epaces vectoriels de E tels que E =
n
i=1
E i et F un
K-espace vectoriel. Soit pour tout i dans [[1, n]] une application linéaire u i dans
L(E i , F). Il existe une unique application linéaire u dans L(E, F) telle que pour
tout i dans [[1, n]], la restriction u |E i de u à E i soit égale à u i .
Exercice 3.15
Soit E un K-espace vectoriel et E 1 , E 2 , E 3 et E 4 quatre sous-espaces
vectoriels tels que (E 1 + E 2 ) + (E 3 + E 4 ) = (E 1 + E 2 ) ⊕ (E 3 + E 4 ) et
(E 1 + E 3 ) + (E 2 + E 4 ) = (E 1 + E 3 ) ⊕ (E 2 + E 4 ). Montrer que la somme
E 1 + E 2 + E 3 + E 4 est directe.
Soit (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) dans E 1 × E 2 × E 3 × E 4 tel que x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 E . Le vecteur
x 1 + x 2 = −(x 3 + x 4 ) est dans (E 1 + E 2 ) ∩ (E 3 + E 4 ) il est donc nul. De même le
vecteur x 1 + x 3 = −(x 2 + x 4 ) est dans (E 1 + E 3 ) ∩ (E 2 + E 4 ) il est donc nul. On en
déduit x 1 = −x 2 = −x 3 = x 4 , ce qui montre que x 1 est dans E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ∩ E 4 .
Comme on a E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ∩ E 4 ⊂ (E 1 + E 2 ) ∩ (E 3 + E 4 ), on en déduit que x 1 est nul
et par suite x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 E . On a montré que la somme des sous-espaces
E 1 , E 2 , E 3 et E 4 est directe.
Exercice 3.16
Soit E un K-espace vectoriel. Soient H 1 , . . . , H n des sous-espaces vectoriels tels
que leur somme est directe. Soient F 1 , . . . , F n des sous-espaces vectoriels de E
tels que pour tout i dans [[1, n]], on a F i ⊂ H i .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit