Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
Ainsi :
f
2 = ( p 1 ◦ q 2 + p 2 ) ◦ ( p 1 ◦ q 2 + p 2 ) = p 1 ◦ q 2 ◦ p 1 ◦ q 2 + p 2 = f .
On a bien montré que f est un projecteur.
3) On constate sans peine que si x est dans Ker p 1 ∩ Ker p 2 on a f (x) = 0. Il est
donc naturel d’examiner si l’inclusion Ker f ⊂ Ker p 1 ∩ Ker p 2 est vraie.
Soit x dans Ker f . On a p 1 (x) + p 2 (x) = p 1 ◦ p 2 (x). En appliquant p 1 aux
deux membres de cette égalité, on obtient p 1 (x) = 0, en appliquant p 2 , on
obtient que p 2 (x) = 0. on a montré que Ker f ⊂ Ker p 1 ∩ Ker p 2 . Finalement
Ker f = Ker p 1 ∩ Ker p 2 .
L’écriture f = p 2 + p 1 ◦ (Id E − p 2 ) montre que Im f ⊂ Im p 1 + Im p 2 . Comme f
est un projecteur, pour montrer qu’un vecteur x est dans Im f il suffit de montrer
que f (x) = x. Soit alors x dans Im p 1 + Im p 2 , il existe y 1 dans Im p 1 et y 2
dans Im p 2 tels que x = y 1 + y 2 . Des relations p 1 (y 1 ) = y 1 , p 2 (y 2 ) = y 2 et
p 2 (y 1 ) = 0 E , on déduit que
f (x) = f (y 1 +y 2 ) = p 2 (y 1 +y 2 )+ p 1 ◦(Id E − p 2 )(y 1 +y 2 ) = y 2 + p 1 (y 1 +y 2 −y 2 ) = x.
On a ainsi montré que (Im p 1 +Im p 2 ) ⊂ Im f . On a finalement Im f = Im p 1 +Im p 2 .
On peut préciser ce résultat : puisque Im p 1 ⊂ Ker p 2 et Ker p 2 ∩ Im p 2 = {0 E },
on a Im p 2 ∩ Im p 1 = {0 E }. On en déduit que la somme de Im p 1 et Im p 2 est
directe. On a donc montré que Im f = Im p 1 ⊕ Im p 2 .
3.1.6 Somme directe
Ce qu’il faut savoir
Soient E un K-espace vectoriel, n un entier naturel non nul et E 1 , . . . , E n une
famille de sous-espaces vectoriels de E.
• On dit que la somme
n
i=1
E i est directe et on écrit alors
n
i=1
E i =
n
i=1
E i ,
lorsque ∀x ∈
n
i=1
E i , ∃!(x 1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × . . . × E n tel que x =
n
i=1
x i .
• Voici un critère très pratique, voir exercice 3.15
La somme
n
i=1
E i est directe si et seulement si pour tout (x 1 , . . . , x n ) dans
E 1 × · · · × E n , l’égalité
n
i=0
x i = 0 entraîne ∀i ∈ [[1, n]] , x i = 0 E .
• Somme directe en dimension finie
On suppose E de dimension finie. Alors
◦
n
i=1
E i =
n
i=1
E i ⇔ dim
n
i=1
E i
=
n
i=1
dim(E i ) .
Ainsi :
f
2 = ( p 1 ◦ q 2 + p 2 ) ◦ ( p 1 ◦ q 2 + p 2 ) = p 1 ◦ q 2 ◦ p 1 ◦ q 2 + p 2 = f .
On a bien montré que f est un projecteur.
3) On constate sans peine que si x est dans Ker p 1 ∩ Ker p 2 on a f (x) = 0. Il est
donc naturel d’examiner si l’inclusion Ker f ⊂ Ker p 1 ∩ Ker p 2 est vraie.
Soit x dans Ker f . On a p 1 (x) + p 2 (x) = p 1 ◦ p 2 (x). En appliquant p 1 aux
deux membres de cette égalité, on obtient p 1 (x) = 0, en appliquant p 2 , on
obtient que p 2 (x) = 0. on a montré que Ker f ⊂ Ker p 1 ∩ Ker p 2 . Finalement
Ker f = Ker p 1 ∩ Ker p 2 .
L’écriture f = p 2 + p 1 ◦ (Id E − p 2 ) montre que Im f ⊂ Im p 1 + Im p 2 . Comme f
est un projecteur, pour montrer qu’un vecteur x est dans Im f il suffit de montrer
que f (x) = x. Soit alors x dans Im p 1 + Im p 2 , il existe y 1 dans Im p 1 et y 2
dans Im p 2 tels que x = y 1 + y 2 . Des relations p 1 (y 1 ) = y 1 , p 2 (y 2 ) = y 2 et
p 2 (y 1 ) = 0 E , on déduit que
f (x) = f (y 1 +y 2 ) = p 2 (y 1 +y 2 )+ p 1 ◦(Id E − p 2 )(y 1 +y 2 ) = y 2 + p 1 (y 1 +y 2 −y 2 ) = x.
On a ainsi montré que (Im p 1 +Im p 2 ) ⊂ Im f . On a finalement Im f = Im p 1 +Im p 2 .
On peut préciser ce résultat : puisque Im p 1 ⊂ Ker p 2 et Ker p 2 ∩ Im p 2 = {0 E },
on a Im p 2 ∩ Im p 1 = {0 E }. On en déduit que la somme de Im p 1 et Im p 2 est
directe. On a donc montré que Im f = Im p 1 ⊕ Im p 2 .
3.1.6 Somme directe
Ce qu’il faut savoir
Soient E un K-espace vectoriel, n un entier naturel non nul et E 1 , . . . , E n une
famille de sous-espaces vectoriels de E.
• On dit que la somme
n
i=1
E i est directe et on écrit alors
n
i=1
E i =
n
i=1
E i ,
lorsque ∀x ∈
n
i=1
E i , ∃!(x 1 , . . . , x n ) ∈ E 1 × . . . × E n tel que x =
n
i=1
x i .
• Voici un critère très pratique, voir exercice 3.15
La somme
n
i=1
E i est directe si et seulement si pour tout (x 1 , . . . , x n ) dans
E 1 × · · · × E n , l’égalité
n
i=0
x i = 0 entraîne ∀i ∈ [[1, n]] , x i = 0 E .
• Somme directe en dimension finie
On suppose E de dimension finie. Alors
◦
n
i=1
E i =
n
i=1
E i ⇔ dim
n
i=1
E i
=
n
i=1
dim(E i ) .