1) Soit w l’application linéaire de E vers R qui à x = x 1 e 1 + · · · + x n e n associe le
réel x 1 + · · · + x n . Le sous-espace vectoriel H est le noyau de w. Comme de plus
w est non nulle, le sous-espace H est un hyperplan de E. Le vecteur u n’est pas
dans H , on a donc E = H ⊕ D.
2) Soit x dans E, d’après le résultat précédent il existe y dans H et z dans D
tels que x = y + z. Puisque z est dans D, il existe a dans R tel que z = au.
On a alors w(x) = w(y) + aw(u) = na. On en déduit que z =
w(x)
n
u et
par conséquent y = x − z = x −
w(x)
n
u. En coordonnées dans la base
(e 1 , . . . , e n ) on obtient successivement z = (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
)(e 1 + · · · + e n ), puis
y = (x 1 − (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
))e 1 + · · · + (x n − (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
))e n .
3) Les résultats précédents montrent que pour tout x dans E, on a
p(x) = x −
1
n
w(x)(e 1 + · · · + e n ) et q(x) =
1
n
w(x)(e 1 + · · · + e n ).
On retrouve en particulier que p + q = Id E .
Exercice 3.14
Mines-Ponts PC 2007, Mines-Ponts MP 2007
Soit E un K-espace vectoriel.
1) Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E et p dans L(E) le projecteur sur F parallèlement à G. Montrer que q = Id E − p est un projecteur.
Déterminer l’image et le noyau de q.
2) Soient p 1 et p 2 deux projecteurs de E tels que p 2 ◦ p 1 = 0. On pose
f = p 1 + p 2 − p 1 ◦ p 2 . Montrer que f est un projecteur.
3) Déterminer l’image et le noyau de f .
1) Pour montrer que q est un projecteur, on montre que q ◦ q = q. Calculons
(Id E − p)
2 . On a (Id E − p)
2 = Id E −2 p + p
2 = Id E − p (car p
2 = p). On a ainsi
montré que q est un projecteur. On sait alors que x appartient à Im q si et seulement si q(x) = x. Cette dernière condition est équivalente à (Id E − p)(x) = x,
c’est à dire p(x) = 0 E . On en déduit que Im q = Ker p = G. De la même
manière, pour x dans E, on a q(x) = 0 E si et seulement si p(x) = x, on en déduit
que Ker q = Im p = F.
2) Pour montrer que f est un projecteur, on montre que f ◦ f = f . On peut
mener les calculs directement en utilisant la relation p 2 ◦ p 1 = 0. On peut simplifier ces calculs en constatant que f = p 1 ◦ (Id E − p 2 ) + p 2 : on sait que
q 2 = Id E − p 2 est la projection sur Ker p 2 parallèlement à Im p 2 et on a en particulier q 2 ◦ p 2 = p 2 ◦ q 2 = 0 tandis que la relation p 2 ◦ p 1 = 0 entraîne q 2 ◦ p 1 = p 1 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
réel x 1 + · · · + x n . Le sous-espace vectoriel H est le noyau de w. Comme de plus
w est non nulle, le sous-espace H est un hyperplan de E. Le vecteur u n’est pas
dans H , on a donc E = H ⊕ D.
2) Soit x dans E, d’après le résultat précédent il existe y dans H et z dans D
tels que x = y + z. Puisque z est dans D, il existe a dans R tel que z = au.
On a alors w(x) = w(y) + aw(u) = na. On en déduit que z =
w(x)
n
u et
par conséquent y = x − z = x −
w(x)
n
u. En coordonnées dans la base
(e 1 , . . . , e n ) on obtient successivement z = (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
)(e 1 + · · · + e n ), puis
y = (x 1 − (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
))e 1 + · · · + (x n − (
x 1
n
+ · · · +
x n
n
))e n .
3) Les résultats précédents montrent que pour tout x dans E, on a
p(x) = x −
1
n
w(x)(e 1 + · · · + e n ) et q(x) =
1
n
w(x)(e 1 + · · · + e n ).
On retrouve en particulier que p + q = Id E .
Exercice 3.14
Mines-Ponts PC 2007, Mines-Ponts MP 2007
Soit E un K-espace vectoriel.
1) Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E et p dans L(E) le projecteur sur F parallèlement à G. Montrer que q = Id E − p est un projecteur.
Déterminer l’image et le noyau de q.
2) Soient p 1 et p 2 deux projecteurs de E tels que p 2 ◦ p 1 = 0. On pose
f = p 1 + p 2 − p 1 ◦ p 2 . Montrer que f est un projecteur.
3) Déterminer l’image et le noyau de f .
1) Pour montrer que q est un projecteur, on montre que q ◦ q = q. Calculons
(Id E − p)
2 . On a (Id E − p)
2 = Id E −2 p + p
2 = Id E − p (car p
2 = p). On a ainsi
montré que q est un projecteur. On sait alors que x appartient à Im q si et seulement si q(x) = x. Cette dernière condition est équivalente à (Id E − p)(x) = x,
c’est à dire p(x) = 0 E . On en déduit que Im q = Ker p = G. De la même
manière, pour x dans E, on a q(x) = 0 E si et seulement si p(x) = x, on en déduit
que Ker q = Im p = F.
2) Pour montrer que f est un projecteur, on montre que f ◦ f = f . On peut
mener les calculs directement en utilisant la relation p 2 ◦ p 1 = 0. On peut simplifier ces calculs en constatant que f = p 1 ◦ (Id E − p 2 ) + p 2 : on sait que
q 2 = Id E − p 2 est la projection sur Ker p 2 parallèlement à Im p 2 et on a en particulier q 2 ◦ p 2 = p 2 ◦ q 2 = 0 tandis que la relation p 2 ◦ p 1 = 0 entraîne q 2 ◦ p 1 = p 1 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit