Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
La formule de Grassmann donne dim(H 1 + H 2 ) = dim(H 1 )+dim(H 2 )−dim(H 1 ∩ H 2 ).
Comme H 1 + H 2 est un sous-espace vectoriel de K
n , on sait que sa dimension est
inférieure ou égale à n. Par ailleurs, on sait que dim H 1 = dim H 2 = n − 1, donc
dim(H 1 ∩ H 2 ) 2(n − 1) − n = n − 2. En outre, H 1 ∩ H 2 est un sous-espace vectoriel
de H 1 (et de H 2 ), donc sa dimension est inférieure ou égale à n − 1. On a finalement
n − 2 dim(H 1 ∩ H 2 ) n − 1. On en déduit que dim(H 1 ∩ H 2 ) vaut n − 1 ou
n − 2. L’examen de deux droites vectorielles dans le plan, montre très rapidement
que (pour n 2) ces deux situations peuvent se produire. On peut en fait même
préciser que dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1 si et seulement si H 1 = H 2 . En effet si H 1 = H 2 ,
le résultat est immédiat. Si dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1, alors on a H 1 ∩ H 2 ⊂ H 1 et
dim(H 1 ∩ H 2 ) = dim H 1 , on en déduit H 1 ∩ H 2 = H 1 , ce qui montre que H 1 ⊂ H 2 ,
et de nouveau, en vertu de l’égalité des dimensions de ces sous-espaces vectoriels
(ou parce que H 1 et H 2 jouant des rôles symétriques l’inclusion réciproque est aussi
vraie), on a finalement H 1 = H 2 .
Conclusion : Si H 1 = H 2 alors dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1, si H 1 et H 2 sont distincts
alors dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 2.
Remarque
Étant donnés k hyperplans H 1 , · · · , H k d’un espace vectoriel de dimension n. On
peut montrer par récurrence sur k que dim(∩
k
i=1 H i ) n − k.
3.1.5 Projecteurs
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel et soit p dans L(E).
• On dit que p est un projecteur lorsque p ◦ p = p.
• Soit p un projecteur de L(E), alors y ∈ Im p ⇔ p(y) = y,
• Projecteurs et sous-espaces supplémentaires
◦ Soit p un projecteur de L(E). On a E = Ker p ⊕ Im p,
◦ Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G. Il existe
un unique projecteur p de L(E) tel que Im p = F et Ker p = G ; on dit alors que
p est le projecteur sur F parallèlement à G.
Exercice 3.13
Soit n dans N
∗ et E = R
n muni d’une base (e 1 , . . . , e n ). On note H le sousespace vectoriel de E d’équation cartésienne x 1 + · · · + x n = 0. On note u le
vecteur défini par u = e 1 + · · · + e n .
1) Montrer que E = H ⊕ D.
2) Soit x dans E. Donner la décomposition de x dans H ⊕ D.
3) Donner la projection p sur H parallèlement à D et la projection q sur D
parallèlement à H .
La formule de Grassmann donne dim(H 1 + H 2 ) = dim(H 1 )+dim(H 2 )−dim(H 1 ∩ H 2 ).
Comme H 1 + H 2 est un sous-espace vectoriel de K
n , on sait que sa dimension est
inférieure ou égale à n. Par ailleurs, on sait que dim H 1 = dim H 2 = n − 1, donc
dim(H 1 ∩ H 2 ) 2(n − 1) − n = n − 2. En outre, H 1 ∩ H 2 est un sous-espace vectoriel
de H 1 (et de H 2 ), donc sa dimension est inférieure ou égale à n − 1. On a finalement
n − 2 dim(H 1 ∩ H 2 ) n − 1. On en déduit que dim(H 1 ∩ H 2 ) vaut n − 1 ou
n − 2. L’examen de deux droites vectorielles dans le plan, montre très rapidement
que (pour n 2) ces deux situations peuvent se produire. On peut en fait même
préciser que dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1 si et seulement si H 1 = H 2 . En effet si H 1 = H 2 ,
le résultat est immédiat. Si dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1, alors on a H 1 ∩ H 2 ⊂ H 1 et
dim(H 1 ∩ H 2 ) = dim H 1 , on en déduit H 1 ∩ H 2 = H 1 , ce qui montre que H 1 ⊂ H 2 ,
et de nouveau, en vertu de l’égalité des dimensions de ces sous-espaces vectoriels
(ou parce que H 1 et H 2 jouant des rôles symétriques l’inclusion réciproque est aussi
vraie), on a finalement H 1 = H 2 .
Conclusion : Si H 1 = H 2 alors dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 1, si H 1 et H 2 sont distincts
alors dim(H 1 ∩ H 2 ) = n − 2.
Remarque
Étant donnés k hyperplans H 1 , · · · , H k d’un espace vectoriel de dimension n. On
peut montrer par récurrence sur k que dim(∩
k
i=1 H i ) n − k.
3.1.5 Projecteurs
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel et soit p dans L(E).
• On dit que p est un projecteur lorsque p ◦ p = p.
• Soit p un projecteur de L(E), alors y ∈ Im p ⇔ p(y) = y,
• Projecteurs et sous-espaces supplémentaires
◦ Soit p un projecteur de L(E). On a E = Ker p ⊕ Im p,
◦ Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G. Il existe
un unique projecteur p de L(E) tel que Im p = F et Ker p = G ; on dit alors que
p est le projecteur sur F parallèlement à G.
Exercice 3.13
Soit n dans N
∗ et E = R
n muni d’une base (e 1 , . . . , e n ). On note H le sousespace vectoriel de E d’équation cartésienne x 1 + · · · + x n = 0. On note u le
vecteur défini par u = e 1 + · · · + e n .
1) Montrer que E = H ⊕ D.
2) Soit x dans E. Donner la décomposition de x dans H ⊕ D.
3) Donner la projection p sur H parallèlement à D et la projection q sur D
parallèlement à H .