D’après le théorème du rang, une condition nécessaire d’existence de u est que
dim F + dim G = n. Supposons donc cette condition réalisée. Soit (g 1 , . . . , g p ) une
base du noyau, que l’on complète en une base (g 1 , . . . , g n ) de E. Soit ( f p+1 , . . . , f n )
une base de F. Un endomorphisme u est défini par sa valeur sur les vecteurs de base.
Posons u(g j ) =
0 si 1 j p
f j si p + 1 j n
.
Alors G ⊂ Ker u et F ⊂ Im u, donc dim G p et dim Im g n − p, mais puisque
dim G + dim F = n, on a dim G = p et dim Im g = n − p, d’où l’on déduit que
G = Ker u et F = Im u.
3.1.4 Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel. Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
• Sous-espaces vectoriels supplémentaires
◦ On dit que F et G sont supplémentaires et on note E = F ⊕ G, lorsque pour
tout x dans E il existe un unique couple (u, v) dans F × G tel que x = u + v.
Exemple : Dans l’espace vectoriel des fonctions de R dans R, les sous-espaces
vectoriels des fonctions paires et impaires sont supplémentaires.
◦ Les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires si et seulement si
E = F + G et F ∩ G = {0 E }.
• Cas de la dimension finie
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, les sous-espaces vectoriels F
et G de E sont supplémentaires dans E si et seulement si :
F ∩ G = {0}
dim F + dim G = dim E
.
◦ Soit (u 1 , . . . , u p ) une base de F et soit (v 1 , . . . , v q ) une base de G. Les sousespaces vectoriels F et G sont supplémentaires si et seulement si la famille
(u 1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v q ) est une base de E
• Hyperplans
◦ On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan de E, lorsque H
admet une droite vectorielle pour supplémentaire ; on montre qu’alors pour tout
a dans E \ H on a E = H ⊕ Ka.
◦ Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan si et seulement si il existe
une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.
Exercice 3.12
Centrale PC 2007, CCP PC 2007
Soient H 1 et H 2 deux hyperplans d’un espace vectoriel de dimension n où n est
un entier supérieur ou égal à 2. Quelle est la dimension de H 1 ∩ H 2 ?
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
dim F + dim G = n. Supposons donc cette condition réalisée. Soit (g 1 , . . . , g p ) une
base du noyau, que l’on complète en une base (g 1 , . . . , g n ) de E. Soit ( f p+1 , . . . , f n )
une base de F. Un endomorphisme u est défini par sa valeur sur les vecteurs de base.
Posons u(g j ) =
0 si 1 j p
f j si p + 1 j n
.
Alors G ⊂ Ker u et F ⊂ Im u, donc dim G p et dim Im g n − p, mais puisque
dim G + dim F = n, on a dim G = p et dim Im g = n − p, d’où l’on déduit que
G = Ker u et F = Im u.
3.1.4 Sous-espaces vectoriels supplémentaires
Ce qu’il faut savoir
Soit E un K-espace vectoriel. Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
• Sous-espaces vectoriels supplémentaires
◦ On dit que F et G sont supplémentaires et on note E = F ⊕ G, lorsque pour
tout x dans E il existe un unique couple (u, v) dans F × G tel que x = u + v.
Exemple : Dans l’espace vectoriel des fonctions de R dans R, les sous-espaces
vectoriels des fonctions paires et impaires sont supplémentaires.
◦ Les sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires si et seulement si
E = F + G et F ∩ G = {0 E }.
• Cas de la dimension finie
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, les sous-espaces vectoriels F
et G de E sont supplémentaires dans E si et seulement si :
F ∩ G = {0}
dim F + dim G = dim E
.
◦ Soit (u 1 , . . . , u p ) une base de F et soit (v 1 , . . . , v q ) une base de G. Les sousespaces vectoriels F et G sont supplémentaires si et seulement si la famille
(u 1 , . . . , u p , v 1 , . . . , v q ) est une base de E
• Hyperplans
◦ On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan de E, lorsque H
admet une droite vectorielle pour supplémentaire ; on montre qu’alors pour tout
a dans E \ H on a E = H ⊕ Ka.
◦ Un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan si et seulement si il existe
une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.
Exercice 3.12
Centrale PC 2007, CCP PC 2007
Soient H 1 et H 2 deux hyperplans d’un espace vectoriel de dimension n où n est
un entier supérieur ou égal à 2. Quelle est la dimension de H 1 ∩ H 2 ?
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit