Chap. 3. Espaces vectoriels et Applications linéaires
Q
= P
− P
(3) , . . ., Q
(n) = P
(n)
− P
(n+1) . Comme P est de degré n, le polynôme
P
(n+1) est nul, et en sommant les égalités précédentes on obtient :
n
k=0
Q
(k) = P.
Remarque
Pour montrer que f est bijective, on peut aussi examiner sa matrice dans la base
canonique de R n [X ]. Cette matrice est triangulaire supérieure et tous ses coefficients diagonaux sont non nuls, elle est donc inversible. On verra plus loin dans
l’exercice 3.19 une autre façon de retrouver ces résultats.
Exercice 3.10
Centrale PSI 2005, Mines-Ponts PC 2006
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v dans L(E).
1) Montrer que rg (u + v) rg u + rg v.
2) On suppose u + v bijectif et u ◦ v = 0. Montrer que rg u + rg v = dimE.
3) Question de la rédaction : Montrer que Im v = Ker u.
1) Soit y dans E. Si y appartient à Im(u + v), alors il existe x ∈ E tel que
y = u(x)+v(x). Il en résulte que y appartient à Im u+Im v, donc Im(u+v) ⊂ Im u+Im v
et par conséquent dim Im(u + v) dim(Im u + Im v).
On déduit alors de la formule de Grassmann que
dim(Im u + Im v) dim Im u + dim Im v.
Finalement dim Im(u + v) dim Im u + dim Im v, ce qui est exactement
rg (u + v) rg u + rg v.
2) On sait déjà grâce à la première question que rg (u + v) rg u + rg v. Or u + v est
bijectif, on a donc rg (u + v) = dimE, et part suite dimE rg u + rg v (1).
Par ailleurs la condition u ◦ v = 0 est équivalente à Im v ⊂ Ker u et on a par
conséquent dim Im v dim Ker u. En appliquant le théorème du rang à u, on
obtient dim Im v dimE − dim Im u, c’est-à-dire rg u + rg v dimE (2). De (1)
et (2), on obtient le résultat demandé.
3) On a déjà dit que u ◦ v = 0 entraîne Im v ⊂ Ker u. Le théorème du rang nous
dit que dim Ker u = dim E − rg u et la relation obtenue à la question précédente montre alors que dim Ker u = rg v. On a ainsi montré que Im v ⊂ Ker u et
que ces deux sous-espaces vectoriels sont de même dimension. On en déduit que
Im v = Ker u.
Exercice 3.11
Soient E un K−espace vectoriel de dimension n, F et G deux sous-espaces de
E. Existe-t-il un endomorphisme u de E tel que Im u = F et Ker u = G ?
Q
= P
− P
(3) , . . ., Q
(n) = P
(n)
− P
(n+1) . Comme P est de degré n, le polynôme
P
(n+1) est nul, et en sommant les égalités précédentes on obtient :
n
k=0
Q
(k) = P.
Remarque
Pour montrer que f est bijective, on peut aussi examiner sa matrice dans la base
canonique de R n [X ]. Cette matrice est triangulaire supérieure et tous ses coefficients diagonaux sont non nuls, elle est donc inversible. On verra plus loin dans
l’exercice 3.19 une autre façon de retrouver ces résultats.
Exercice 3.10
Centrale PSI 2005, Mines-Ponts PC 2006
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, u et v dans L(E).
1) Montrer que rg (u + v) rg u + rg v.
2) On suppose u + v bijectif et u ◦ v = 0. Montrer que rg u + rg v = dimE.
3) Question de la rédaction : Montrer que Im v = Ker u.
1) Soit y dans E. Si y appartient à Im(u + v), alors il existe x ∈ E tel que
y = u(x)+v(x). Il en résulte que y appartient à Im u+Im v, donc Im(u+v) ⊂ Im u+Im v
et par conséquent dim Im(u + v) dim(Im u + Im v).
On déduit alors de la formule de Grassmann que
dim(Im u + Im v) dim Im u + dim Im v.
Finalement dim Im(u + v) dim Im u + dim Im v, ce qui est exactement
rg (u + v) rg u + rg v.
2) On sait déjà grâce à la première question que rg (u + v) rg u + rg v. Or u + v est
bijectif, on a donc rg (u + v) = dimE, et part suite dimE rg u + rg v (1).
Par ailleurs la condition u ◦ v = 0 est équivalente à Im v ⊂ Ker u et on a par
conséquent dim Im v dim Ker u. En appliquant le théorème du rang à u, on
obtient dim Im v dimE − dim Im u, c’est-à-dire rg u + rg v dimE (2). De (1)
et (2), on obtient le résultat demandé.
3) On a déjà dit que u ◦ v = 0 entraîne Im v ⊂ Ker u. Le théorème du rang nous
dit que dim Ker u = dim E − rg u et la relation obtenue à la question précédente montre alors que dim Ker u = rg v. On a ainsi montré que Im v ⊂ Ker u et
que ces deux sous-espaces vectoriels sont de même dimension. On en déduit que
Im v = Ker u.
Exercice 3.11
Soient E un K−espace vectoriel de dimension n, F et G deux sous-espaces de
E. Existe-t-il un endomorphisme u de E tel que Im u = F et Ker u = G ?