Par ailleurs : f(X − a) = −2(X − a), et f(1) = 0. On a donc (pour n 3) :
Im f = Vect(f(e 0 ), . . . , f(e n )) = Vect((X − a), (X − a)
3 , . . . , (X − a)
n )
La famille ((X − a), (X − a)
3 , . . . , (X − a)
n ) est étagée en degré, elle est donc
libre et par conséquent c’est une base de Im f. On en déduit en particulier que
dim Im f = n − 1. Le théorème du rang montre alors que dim Ker f = 2, comme on
connaît deux polynômes non liés dans le noyau de f, on en déduit que ces deux polynômes forment une base de Ker f. La famille
1, (X − a)
2
est une base de Ker f.
Remarque
Ceux qui parmi nos lecteurs ont déjà pratiqué la réduction remarqueront qu’on a
en fait obtenu une base de K n [X ] constituée de vecteurs propres de f.
Ce qu’il faut retenir
Comme le montre l’exercice 3.8, l’étude d’une application linéaire est grandement facilitée par le choix d’une base adaptée.
Exercice 3.9
Mines-Ponts PSI 2005, CCP et Mines-Ponts MP 2006
Soit f l’application définie sur E = R n [X ] par f (P) = P − P
.
1) Montrer de deux façons différentes que l’application f est bijective.
2) Pour Q dans E, trouver P tel que Q = P − P
.
Indication de l’examinateur du CCP : on pourra s’intéresser à Q
(n+1) .
Il est clair que f est un endomorphisme de E.
1) Première méthode : On étudie le noyau de f . Soit P un polynôme non nul. On
a alors deg(P
) < deg(P). On en déduit que deg( f (P)) = deg(P) ce qui montre
que f (P) est non nul. Le noyau de f est ainsi réduit au polynôme nul, ce qui
montre que f est injective. Comme f est un endomorphisme dans un espace de
dimension finie, on en déduit que f est bijective.
Deuxième méthode : On va examiner l’image par f de la base canonique B de
R n [X ]. On a f (1) = 1 et pour tout k dans [[1, n]], on a f (X
k ) = X
k
− k X
k−1 . On
constate que la famille ( f (X
k )) 0kn est échelonnée en degré (voir exercice 3.1),
cette famille est donc libre. En outre, elle est de cardinal n + 1 dans un espace de
dimension n + 1, c’est donc une base de R n [X ]. Comme l’image par f d’une base
de R n [X ] est une base de R n [X ], l’application f est bijective.
2) Soit Q dans R n [X ]. D’après le résultat précédent, il existe P dans R n [X ]
tel que Q = P − P
. Pour trouver P on peut essayer d’inverser la matrice
obtenue à la question précédente. On peut aussi, comme le suggère l’énoncé,
calculer les dérivées successives de Q. On obtient Q = P − P
, Q
= P
− P
,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Im f = Vect(f(e 0 ), . . . , f(e n )) = Vect((X − a), (X − a)
3 , . . . , (X − a)
n )
La famille ((X − a), (X − a)
3 , . . . , (X − a)
n ) est étagée en degré, elle est donc
libre et par conséquent c’est une base de Im f. On en déduit en particulier que
dim Im f = n − 1. Le théorème du rang montre alors que dim Ker f = 2, comme on
connaît deux polynômes non liés dans le noyau de f, on en déduit que ces deux polynômes forment une base de Ker f. La famille
1, (X − a)
2
est une base de Ker f.
Remarque
Ceux qui parmi nos lecteurs ont déjà pratiqué la réduction remarqueront qu’on a
en fait obtenu une base de K n [X ] constituée de vecteurs propres de f.
Ce qu’il faut retenir
Comme le montre l’exercice 3.8, l’étude d’une application linéaire est grandement facilitée par le choix d’une base adaptée.
Exercice 3.9
Mines-Ponts PSI 2005, CCP et Mines-Ponts MP 2006
Soit f l’application définie sur E = R n [X ] par f (P) = P − P
.
1) Montrer de deux façons différentes que l’application f est bijective.
2) Pour Q dans E, trouver P tel que Q = P − P
.
Indication de l’examinateur du CCP : on pourra s’intéresser à Q
(n+1) .
Il est clair que f est un endomorphisme de E.
1) Première méthode : On étudie le noyau de f . Soit P un polynôme non nul. On
a alors deg(P
) < deg(P). On en déduit que deg( f (P)) = deg(P) ce qui montre
que f (P) est non nul. Le noyau de f est ainsi réduit au polynôme nul, ce qui
montre que f est injective. Comme f est un endomorphisme dans un espace de
dimension finie, on en déduit que f est bijective.
Deuxième méthode : On va examiner l’image par f de la base canonique B de
R n [X ]. On a f (1) = 1 et pour tout k dans [[1, n]], on a f (X
k ) = X
k
− k X
k−1 . On
constate que la famille ( f (X
k )) 0kn est échelonnée en degré (voir exercice 3.1),
cette famille est donc libre. En outre, elle est de cardinal n + 1 dans un espace de
dimension n + 1, c’est donc une base de R n [X ]. Comme l’image par f d’une base
de R n [X ] est une base de R n [X ], l’application f est bijective.
2) Soit Q dans R n [X ]. D’après le résultat précédent, il existe P dans R n [X ]
tel que Q = P − P
. Pour trouver P on peut essayer d’inverser la matrice
obtenue à la question précédente. On peut aussi, comme le suggère l’énoncé,
calculer les dérivées successives de Q. On obtient Q = P − P
, Q
= P
− P
,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit