Exercice 3.7
CCP PSI 2006
Soient n 2 et f : R n [X ] −→ R 2 [X ] qui à P associe
f (P) = X P(1) + (X
2
− 4)P(0). Montrer que f est linéaire et trouver dim Ker f
et dim Im f .
• Soient P et Q dans R n [X ] et soient a et b dans R. On a :
f (aP + bQ) = X (aP + bQ)(1) + (X
2
− 4)(aP + bQ)(0)
= X (aP(1) + bQ(1)) + (X
2
− 4)(aP(0) + bQ(0))
= a(X P(1) + (X
2
− 4)P(0)) + b(X Q(1) + (X
2
− 4)Q(0))
= a f (P) + b f (Q).
On a ainsi montré que f est linéaire.
• Déterminons le noyau de f . Comme un polynôme est nul si et seulement si tous
ses coefficients sont nuls, f (P) = 0 si et seulement si P(1) = P(0) = 0, ce qui
équivaut à X (X − 1) divise P. Comme n est supérieur ou égal à 2, il existe alors
Q dans R n−2 [X ] tel que P(X ) = Q(X )X (X − 1). On en déduit l’existence de
(a 0 , . . . , a n−2 ) dans R
n−2 tel que P(X ) =
n−2
k=0
a k X
k X (X − 1). Ceci montre que la
famille (X (X − 1), . . . , X
n−1 (X − 1)) est une famille génératrice de Ker f . Comme
elle est étagée en degré, elle est libre et c’est donc finalement une base de Ker f .
On en déduit que la dimension de Ker f est n − 1. Par le théorème du rang, on a
dim Im f = dim R n [X ] − dim Ker f = 2. On en déduit (même si la question n’est
pas posée) que Im f = Vect(X , X
2
− 4).
Exercice 3.8
TPE MP 2006
Soit a dans K et soit n un entier supérieur ou égal à 3. On considère l’endomorphisme f de K n [X ] défini par : f(P) = (X − a)(P
− P
(a)) − 2(P − P(a)).
Déterminer le noyau et l’image de f.
Remarquons que si a est racine double de P, l’expression de f(P) se simplifie grandement. Il est donc assez naturel de se placer dans une base de K n [X ] constituée de
polynômes admettant a pour racine. La formule de Taylor pour les polynômes assure
que la base (e k ) k∈[[0,n]] où e k =
(X − a)
k
k!
est particulièrement adaptée. En effet pour
tout entier k 2, on a :
f
(X − a)
k
k!
= (X − a)
(X − a)
k−1
(k − 1)!
− 2
(X − a)
k
k!
= (k − 2)
(X − a)
k
k!
.