◦ L’application u est un isomorphisme si et seulement si l’image d’une base de E
par u est une base de F.
◦ Tout supplémentaire du noyau de u est isomorphe à l’image de u.
Cas de la dimension finie On suppose que E est de dimension finie.
• Théorème du rang : Soit u dans L(E, F). L’image de u est de dimension finie,
on appelle rang de u la dimension de Im u que l’on note rg u et on a
dim(Im u) + dim(Ker u) = dim E.
• On suppose que E et F sont de dimension finie.
◦ Si dim E = dim F, alors u est bijective ⇔ u est injective ⇔ u est surjective.
Mise en garde : Ce résultat est faux si dim E = dim F ou si les deux espaces ne
sont pas de dimension finie.
◦ Soit B E une base de E et B F une base de F. L’application linéaire u est
bijective si et seulement si la matrice M B E B F (u) est inversible et on a alors
M B F B E (u
−1 ) =
M B E B F (u)
−1 .
Le dernier résultat permet de ramener la question de la bijectivité d’une application linéaire à l’étude de l’inversibilité d’une matrice. On peut alors utiliser les
techniques rappelées page 98.
Exercice 3.6
Soit E = K [X ]. Soient les applications linéaires w et c définies sur E par
w(P) = P
et c(P) = X P.
Les applications w et c sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
• Il est clair que Ker w est l’ensemble des polynômes constants. L’application w n’est
pas injective. En revanche, elle est surjective puisque tout polynôme admet une primitive polynômiale. Finalement, w n’est pas bijective puisqu’elle n’est pas injective.
• Pour tout polynôme non nul P, on a deg(c(P)) = deg(P) + 1, on en déduit que le
polynôme 1 n’est pas dans Im c. Ceci montre que l’application c n’est pas surjective.
La même relation sur le degré montre que le noyau de c est réduit au polynôme nul.
L’application c est injective. Puisque c n’est pas surjective, elle n’est pas bijective.
Remarque
Les deux exemples ci-dessus montrent bien que si f est un endomorphisme d’un
espace vectoriel E, la chaine d’équivalence : « f est bijective ⇔ f est injective ⇔
f est surjective », n’est vraie que si E est de dimension finie.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
par u est une base de F.
◦ Tout supplémentaire du noyau de u est isomorphe à l’image de u.
Cas de la dimension finie On suppose que E est de dimension finie.
• Théorème du rang : Soit u dans L(E, F). L’image de u est de dimension finie,
on appelle rang de u la dimension de Im u que l’on note rg u et on a
dim(Im u) + dim(Ker u) = dim E.
• On suppose que E et F sont de dimension finie.
◦ Si dim E = dim F, alors u est bijective ⇔ u est injective ⇔ u est surjective.
Mise en garde : Ce résultat est faux si dim E = dim F ou si les deux espaces ne
sont pas de dimension finie.
◦ Soit B E une base de E et B F une base de F. L’application linéaire u est
bijective si et seulement si la matrice M B E B F (u) est inversible et on a alors
M B F B E (u
−1 ) =
M B E B F (u)
−1 .
Le dernier résultat permet de ramener la question de la bijectivité d’une application linéaire à l’étude de l’inversibilité d’une matrice. On peut alors utiliser les
techniques rappelées page 98.
Exercice 3.6
Soit E = K [X ]. Soient les applications linéaires w et c définies sur E par
w(P) = P
et c(P) = X P.
Les applications w et c sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
• Il est clair que Ker w est l’ensemble des polynômes constants. L’application w n’est
pas injective. En revanche, elle est surjective puisque tout polynôme admet une primitive polynômiale. Finalement, w n’est pas bijective puisqu’elle n’est pas injective.
• Pour tout polynôme non nul P, on a deg(c(P)) = deg(P) + 1, on en déduit que le
polynôme 1 n’est pas dans Im c. Ceci montre que l’application c n’est pas surjective.
La même relation sur le degré montre que le noyau de c est réduit au polynôme nul.
L’application c est injective. Puisque c n’est pas surjective, elle n’est pas bijective.
Remarque
Les deux exemples ci-dessus montrent bien que si f est un endomorphisme d’un
espace vectoriel E, la chaine d’équivalence : « f est bijective ⇔ f est injective ⇔
f est surjective », n’est vraie que si E est de dimension finie.
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