Exercice 3.5
CCP MP 2006
Soit E un espace vectoriel. Soient L, M et N trois sous-espaces vectoriels
de E.
1) Montrer que (L ∩ M) + (L ∩ N ) ⊂ L ∩ (M + N ).
2) Montrer qu’on n’a pas toujours l’égalité L ∩ (M + N ) = (L ∩ M) + (L ∩ N ).
1) Soit x dans (L ∩ M) + (L ∩ N ). Il existe alors x 1 dans (L ∩ M) et x 2 dans
(L ∩ N ) tels que x = x 1 + x 2 . Comme x 1 et x 2 sont dans L qui est un sous-espace
vectoriel, on en déduit que x est dans L. Par ailleurs (x 1 , x 2 ) est dans M × N ,
donc x appartient à M + N . Ainsi x appartient à L ∩ (M + N ), d’où l’inclusion
(L ∩ M) + (L ∩ N ) ⊂ L ∩ (M + N ).
2) Il suffit de considérer trois droites vectorielles D 1 , D 2 et D 3 deux à deux distinctes
dans le plan R
2 . En effet, (D 2 + D 3 ) = R
2 , et D 1 ∩ (D 2 + D 3 ) = D 1 , tandis que
D 1 ∩ D 2 et D 1 ∩ D 3 sont réduits au vecteur nul.
3.1.3 Applications linéaires
Ce qu’il faut savoir
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
• On dit qu’une application u de E dans F est linéaire lorsque pour tout
(x, y) ∈ E
2 et tout (a, b) ∈ K
2 , u(ax + by) = au(x) + bu(y).
Notation On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
• Noyau et image d’une application linéaire Soit u dans L(E, F).
◦ L’ensemble {x ∈ E | u(x) = 0 F } est un sous-espace vectoriel de E qu’on
appelle noyau de u et qu’on note Ker u.
◦ L’ensemble {y ∈ F | ∃x ∈ E tel que u(x) = y} est un sous-espace vectoriel
de E qu’on appelle image de u et qu’on note Im u.
• Construction d’applications linéaires Soit (e i ) i∈I une base de E et soit ( f i ) i∈I
une famille quelconque d’éléments de F. Il existe une unique application linéaire
u dans L(E, F) telle que pour tout i dans I on a u(e i ) = f i .
• Application linéaire injective, surjective, bijective Soit u ∈ L(E, F).
◦ L’application u est injective si et seulement si Ker u = {0 E }.
◦ L’application u est surjective si et seulement si Im u = F.
• Isomorphisme
◦ On dit que l’application linéaire u est un isomorphisme lorsque u est bijective.
◦ On dit que E et F sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de E
vers F.
CCP MP 2006
Soit E un espace vectoriel. Soient L, M et N trois sous-espaces vectoriels
de E.
1) Montrer que (L ∩ M) + (L ∩ N ) ⊂ L ∩ (M + N ).
2) Montrer qu’on n’a pas toujours l’égalité L ∩ (M + N ) = (L ∩ M) + (L ∩ N ).
1) Soit x dans (L ∩ M) + (L ∩ N ). Il existe alors x 1 dans (L ∩ M) et x 2 dans
(L ∩ N ) tels que x = x 1 + x 2 . Comme x 1 et x 2 sont dans L qui est un sous-espace
vectoriel, on en déduit que x est dans L. Par ailleurs (x 1 , x 2 ) est dans M × N ,
donc x appartient à M + N . Ainsi x appartient à L ∩ (M + N ), d’où l’inclusion
(L ∩ M) + (L ∩ N ) ⊂ L ∩ (M + N ).
2) Il suffit de considérer trois droites vectorielles D 1 , D 2 et D 3 deux à deux distinctes
dans le plan R
2 . En effet, (D 2 + D 3 ) = R
2 , et D 1 ∩ (D 2 + D 3 ) = D 1 , tandis que
D 1 ∩ D 2 et D 1 ∩ D 3 sont réduits au vecteur nul.
3.1.3 Applications linéaires
Ce qu’il faut savoir
Soient E et F deux K-espaces vectoriels.
• On dit qu’une application u de E dans F est linéaire lorsque pour tout
(x, y) ∈ E
2 et tout (a, b) ∈ K
2 , u(ax + by) = au(x) + bu(y).
Notation On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.
• Noyau et image d’une application linéaire Soit u dans L(E, F).
◦ L’ensemble {x ∈ E | u(x) = 0 F } est un sous-espace vectoriel de E qu’on
appelle noyau de u et qu’on note Ker u.
◦ L’ensemble {y ∈ F | ∃x ∈ E tel que u(x) = y} est un sous-espace vectoriel
de E qu’on appelle image de u et qu’on note Im u.
• Construction d’applications linéaires Soit (e i ) i∈I une base de E et soit ( f i ) i∈I
une famille quelconque d’éléments de F. Il existe une unique application linéaire
u dans L(E, F) telle que pour tout i dans I on a u(e i ) = f i .
• Application linéaire injective, surjective, bijective Soit u ∈ L(E, F).
◦ L’application u est injective si et seulement si Ker u = {0 E }.
◦ L’application u est surjective si et seulement si Im u = F.
• Isomorphisme
◦ On dit que l’application linéaire u est un isomorphisme lorsque u est bijective.
◦ On dit que E et F sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme de E
vers F.