(ii) pour tout (x, y) ∈ F
2 , x + y ∈ F, (stabilité pour la loi +),
(iii) pour tout x ∈ F et tout l ∈ K, lx ∈ F (stabilité pour la loi externe).
• Pour que F soit un sous-espace vectoriel de E, il suffit que F vérifie l’une des
propriétés suivantes :
(i ) la partie F est non vide et pour tout (x, y) ∈ F
2 et tout l ∈ K, x + ly ∈ F ;
(ii) il existe une famille (e 1 , . . . , e n ) de vecteurs de E telle que
F = Vect(e 1 , . . . , e n ) ;
(iii) la partie F est le noyau ou l’image d’une application linéaire ;
(iv) la partie F est une somme ou une intersection de sous-espaces vectoriels
connus.
Dimension d’un sous-espace vectoriel
◦ Si E est de dimension finie, alors tous les sous-espaces vectoriels de E sont de
dimension finie.
◦ Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E avec G de dimension finie. Si
F ⊂ G et dim F = dim G alors F = G.
◦ Formule de Grassmann Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Si F et G sont de dimension finie, alors le sous-espace vectoriel F + G est de
dimension finie et on a dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).
Exercice 3.4
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit E = R n [X ]. Soit H l’ensemble des
polynômes P de E tels que P(1) = P
(1) = 0.
1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
2) Montrer que P appartient à H si et seulement si (X − 1)
2 divise P.
3) Donner une base de H et déterminer sa dimension.
1) L’ensemble H est une partie non vide de E car elle contient le polynôme nul.
Soient P et Q dans H , soit l dans R. Soit R le polynôme égal à P + lQ. On a
R(1) = P(1) + lQ(1) = 0 et de la même façon R
(1) = P
(1) + lQ
(1) = 0.
On a bien montré que H est un sous-espace vectoriel de E.
2) Soit P dans E. Le polynôme P est dans H si et seulement si 1 est racine double
de P, ce qui signifie exactement que P appartient à H si et seulement si (X − 1)
2
divise P.
3) Soit P dans H , il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 2 tel que
P(X ) = (X − 1)
2 Q(X ). Plus précisément, il existe (a 0 , · · · , a n−2 ) dans R
n−1 tel
que Q(X ) =
n−2
i=0
a i X
i , ce qui montre que P(X ) =
n−2
i=0
a i X
i (X − 1)
2 et donc la
famille F = ((X − 1)
2 , X (X − 1)
2 , . . . , X
n−2 (X − 1)
2 ) est génératrice de H . En
outre, la famille F est échelonnée en degré, elle est donc libre.
La famille F est une base de H et dim H = n − 1.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 , x + y ∈ F, (stabilité pour la loi +),
(iii) pour tout x ∈ F et tout l ∈ K, lx ∈ F (stabilité pour la loi externe).
• Pour que F soit un sous-espace vectoriel de E, il suffit que F vérifie l’une des
propriétés suivantes :
(i ) la partie F est non vide et pour tout (x, y) ∈ F
2 et tout l ∈ K, x + ly ∈ F ;
(ii) il existe une famille (e 1 , . . . , e n ) de vecteurs de E telle que
F = Vect(e 1 , . . . , e n ) ;
(iii) la partie F est le noyau ou l’image d’une application linéaire ;
(iv) la partie F est une somme ou une intersection de sous-espaces vectoriels
connus.
Dimension d’un sous-espace vectoriel
◦ Si E est de dimension finie, alors tous les sous-espaces vectoriels de E sont de
dimension finie.
◦ Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E avec G de dimension finie. Si
F ⊂ G et dim F = dim G alors F = G.
◦ Formule de Grassmann Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Si F et G sont de dimension finie, alors le sous-espace vectoriel F + G est de
dimension finie et on a dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).
Exercice 3.4
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit E = R n [X ]. Soit H l’ensemble des
polynômes P de E tels que P(1) = P
(1) = 0.
1) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de E.
2) Montrer que P appartient à H si et seulement si (X − 1)
2 divise P.
3) Donner une base de H et déterminer sa dimension.
1) L’ensemble H est une partie non vide de E car elle contient le polynôme nul.
Soient P et Q dans H , soit l dans R. Soit R le polynôme égal à P + lQ. On a
R(1) = P(1) + lQ(1) = 0 et de la même façon R
(1) = P
(1) + lQ
(1) = 0.
On a bien montré que H est un sous-espace vectoriel de E.
2) Soit P dans E. Le polynôme P est dans H si et seulement si 1 est racine double
de P, ce qui signifie exactement que P appartient à H si et seulement si (X − 1)
2
divise P.
3) Soit P dans H , il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à n − 2 tel que
P(X ) = (X − 1)
2 Q(X ). Plus précisément, il existe (a 0 , · · · , a n−2 ) dans R
n−1 tel
que Q(X ) =
n−2
i=0
a i X
i , ce qui montre que P(X ) =
n−2
i=0
a i X
i (X − 1)
2 et donc la
famille F = ((X − 1)
2 , X (X − 1)
2 , . . . , X
n−2 (X − 1)
2 ) est génératrice de H . En
outre, la famille F est échelonnée en degré, elle est donc libre.
La famille F est une base de H et dim H = n − 1.
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