1) E admet une base ;
2) toutes les bases de E ont même cardinal appelé dimension de E ;
3) toute famille libre peut être complétée en une base de E (théorème de la base
incomplète).
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N
∗ et soit F une famille
de n éléments de E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1) F est une famille libre de E ;
2) F est une famille génératrice de E ;
3) F est une base de E.
• Exemples
Soient n et p dans N
∗ .
◦ Le K-espace vectoriel (K
n , +, ·) est de dimension n.
◦ Le K-espace vectoriel (K n [X ], +, ·) est de dimension n + 1.
◦ Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, le
K-espace vectoriel (L(E, F), +, ·) des applications linéaires de E dans F est de
dimension finie np.
◦ Le K-espace vectoriel M np (K) est de dimension np.
◦ Le K-espace vectoriel (K [X ] , +, ·) n’est pas de dimension finie.
◦ Le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K et le K-espace vectoriel des
fonctions de classe C
k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit
à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie.
Exercice 3.1
On considère une suite (P k ) k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans
N on a deg P k = k.
1) Montrer que pour tout n dans N la famille (P k ) 0kn est une base de K n [X ].
2) Montrer que (P k ) k∈N est une base de K [X ].
1) Soit (l 1 , . . . , l n ) dans K
n tel que (1)
n
k=1
l k P k = 0 . Raisonnons par l’absurde
et supposons que les l k ne sont pas tous nuls. Soit alors p le plus grand des entiers
k dans [[1, n]] tel que l k est non nul. Puisque pour tout k dans N on a deg P k = k,
on en déduit que deg(
n
k=0
l k P k ) = p et par conséquent ce polynôme est non nul.
Ce qui contredit (1). La famille (P k ) 0kn est libre et de cardinal n + 1 dans un
espace vectoriel de dimension n + 1, c’est donc une base de K n [X ].
2) • Montrons que la famille (P i ) i∈N est libre.
Soit J une partie finie de N. Montrons que la famille (P j ) j∈J est libre. Comme
2) toutes les bases de E ont même cardinal appelé dimension de E ;
3) toute famille libre peut être complétée en une base de E (théorème de la base
incomplète).
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N
∗ et soit F une famille
de n éléments de E. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :
1) F est une famille libre de E ;
2) F est une famille génératrice de E ;
3) F est une base de E.
• Exemples
Soient n et p dans N
∗ .
◦ Le K-espace vectoriel (K
n , +, ·) est de dimension n.
◦ Le K-espace vectoriel (K n [X ], +, ·) est de dimension n + 1.
◦ Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, le
K-espace vectoriel (L(E, F), +, ·) des applications linéaires de E dans F est de
dimension finie np.
◦ Le K-espace vectoriel M np (K) est de dimension np.
◦ Le K-espace vectoriel (K [X ] , +, ·) n’est pas de dimension finie.
◦ Le K-espace vectoriel des suites à valeurs dans K et le K-espace vectoriel des
fonctions de classe C
k (I ) à valeurs dans K, où I est un intervalle de R non réduit
à un point, sont des espaces vectoriels qui ne sont pas de dimension finie.
Exercice 3.1
On considère une suite (P k ) k∈N de polynômes de K [X ] telle que pour tout k dans
N on a deg P k = k.
1) Montrer que pour tout n dans N la famille (P k ) 0kn est une base de K n [X ].
2) Montrer que (P k ) k∈N est une base de K [X ].
1) Soit (l 1 , . . . , l n ) dans K
n tel que (1)
n
k=1
l k P k = 0 . Raisonnons par l’absurde
et supposons que les l k ne sont pas tous nuls. Soit alors p le plus grand des entiers
k dans [[1, n]] tel que l k est non nul. Puisque pour tout k dans N on a deg P k = k,
on en déduit que deg(
n
k=0
l k P k ) = p et par conséquent ce polynôme est non nul.
Ce qui contredit (1). La famille (P k ) 0kn est libre et de cardinal n + 1 dans un
espace vectoriel de dimension n + 1, c’est donc une base de K n [X ].
2) • Montrons que la famille (P i ) i∈N est libre.
Soit J une partie finie de N. Montrons que la famille (P j ) j∈J est libre. Comme