J est finie, il existe n dans N tel que J ⊂ [[0, n]] et par conséquent, la famille
(P j ) j∈J est une sous-famille de (P 0 , . . . , P n ). Comme on a déjà montré que cette
dernière famille est libre et qu’une sous-famille d’une famille libre est libre, on en
déduit que la famille (P j ) j∈J est libre.
Le résultat est vrai pour toute partie J finie de N. On en conclut que la famille
(P i ) i∈N est libre.
• Montrons que la famille (P i ) i∈N est génératrice.
Soit P dans K [X ]. Soit n le degré de P. Le polynôme P est dans K n [X ] et s’écrit
donc comme combinaison linéaire de la famille (P 0 , . . . , P n ), puisque d’après le
résultat précédent la famille (P 0 , . . . , P n ) est une base de K n [X ]. Il s’écrit donc
comme une combinaison linéaire finie de la famille (P i ) i∈N .
On a ainsi montré que la famille (P i ) i∈N est une base de K [X ].
Exemples de bases de K[X ] : Soit a ∈ K, les famille ((X − a)
n ) n∈N et
(X − a)
n
n!
n∈N
sont des bases de K[X ] qui rendent souvent de bons services
dans les exercices.
Exercice 3.2
CCP PC 2006
Soit n dans N
∗ et soit (a, b) dans R
2 tel que a = b.
1) Justifier que la famille B =
(X − a)
k
0k2n
est une base de R 2n [X ].
2) Déterminer les coordonnées de (X − a)
n (X − b)
n dans la base B.
Indication de la rédaction : remarquer que X − b = X − a + (a − b).
1) On déduit de l’exercice 3.1 page 52 que la famille B est une base de R 2n [X ]. On
peut également utiliser la formule de Taylor : tout polynôme P de R 2n [X ] s’écrit
P =
2n
k=0
P
(k) (a)
k!
(X − a)
k . Ceci montre que la famille B est génératrice. Comme
elle est de plus de cardinal 2n +1 dans un espace de dimension 2n +1, on en déduit
que c’est une base de R 2n [X ].
2) On peut essayer d’utiliser la formule de Taylor mais les calculs ne sont pas commodes. Comme X − b = X − a + (a − b), on a d’après la formule du binôme de
Newton (X − b)
n =
n
k=0
n
k
(X − a)
k (a − b)
n−k . On en déduit que
(X − a)
n (X − b)
n =
n
k=0
n
k
(X − a)
n+k (a − b)
n−k .
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