Espaces vectoriels
et applications linéaires
3
Les exercices de ce chapitre portent sur une partie du cours qui pour son essentiel a
été vue en première année. Les notions de famille génératrice, famille libre et base
sont simplement étendues au cas des familles infinies. La notion plus nouvelle de
somme directe est détaillée dans les rappels de cours et fait l’objet de plusieurs exercices. Les exercices d’assimilation et d’entraînement sont dans leur grande majorité
abordables dès le second semestre de la première année. Ce chapitre constituera également un excellent support pour les révisions estivales. Les exercices d’approfondissement seront très utiles lors de la reprise de ce chapitre en deuxième année.
3.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Dans tout ce qui suit, K est le corps R ou C.
3.1.1 Familles libres, familles génératrices, bases
Ce qu’il faut savoir
• Soit E un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble (éventuellement infini)
et F = (x i ) i∈I une famille d’éléments de E.
◦ On dit que la famille F est libre lorsque pour toute partie finie J de I et pour
toute famille (l i ) i∈J d’éléments de K, on a :
i∈J
l i x i = 0 E ⇒ ∀i ∈ J , l i = 0 K .
◦ On dit que la famille F est génératrice de E lorsque pour tout x élément de E
il existe une partie finie J de I et une famille (l i ) i∈J d’éléments de K, telles que :
x =
i∈J
l i x i .
◦ On dit que la famille F est une base de E lorsque c’est une famille libre et
génératrice.
• Espace vectoriel de dimension finie
◦ On dit que E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice
finie.
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors
et applications linéaires
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Les exercices de ce chapitre portent sur une partie du cours qui pour son essentiel a
été vue en première année. Les notions de famille génératrice, famille libre et base
sont simplement étendues au cas des familles infinies. La notion plus nouvelle de
somme directe est détaillée dans les rappels de cours et fait l’objet de plusieurs exercices. Les exercices d’assimilation et d’entraînement sont dans leur grande majorité
abordables dès le second semestre de la première année. Ce chapitre constituera également un excellent support pour les révisions estivales. Les exercices d’approfondissement seront très utiles lors de la reprise de ce chapitre en deuxième année.
3.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Dans tout ce qui suit, K est le corps R ou C.
3.1.1 Familles libres, familles génératrices, bases
Ce qu’il faut savoir
• Soit E un K-espace vectoriel. Soit I un ensemble (éventuellement infini)
et F = (x i ) i∈I une famille d’éléments de E.
◦ On dit que la famille F est libre lorsque pour toute partie finie J de I et pour
toute famille (l i ) i∈J d’éléments de K, on a :
i∈J
l i x i = 0 E ⇒ ∀i ∈ J , l i = 0 K .
◦ On dit que la famille F est génératrice de E lorsque pour tout x élément de E
il existe une partie finie J de I et une famille (l i ) i∈J d’éléments de K, telles que :
x =
i∈J
l i x i .
◦ On dit que la famille F est une base de E lorsque c’est une famille libre et
génératrice.
• Espace vectoriel de dimension finie
◦ On dit que E est de dimension finie lorsque E admet une famille génératrice
finie.
◦ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, alors