Chap. 2. Compléments sur les polynômes
Posons v = e
i
2p
5 , E = Vect{v
k
| k ∈ N} et P = 1 + X + X
2 + X
3 + X
4 . On a
P(X + 1) =
(X + 1)
5
− 1
X
= X
4 +
5
4
X
3 +
5
3
X
2 +
5
2
X +
5
1
. Démontrons
que P(X + 1) est irréductible dans Z[X ]. Supposons qu’il existe A et B dans Z[X ]
non constants tels que P = AB. Quitte à changer A en −A, on peut supposer A et
B unitaires.
On a alors P(X + 1) = AB, d’où AB = X
4 . Par unicité de la décomposition en
facteurs irréductibles dans Z/5Z[X ], on en déduit que A et B sont des puissances de
X . Cela entraîne en particulier que les coefficients constants de A et B sont multiples
de 5, donc le coefficient constant de AB est multiple de 25, or il est égal à 5, d’où
une contradiction. On en déduit que P(X + 1) est irréductible dans Z[X ], donc P
également, et comme il est unitaire à coefficients entiers, il est aussi irréductible
dans Q[X ] d’après l’exercice 2.19 page 44.
Comme P(v) = 0, on en déduit que P est le polynôme minimal de v sur Q, donc
dim E = deg P = 4.