Exercice 2.25
Mines-Ponts MP 2006 Ã
Soit K = Q + Q
√
2 + Q
√
3 + Q
√
6.
1) Montrer que la famille (1,
√
2,
√
3,
√
6) est une base du Q-espace vectoriel K .
2) Montrer que K est un sous-corps de R.
1) Montrons que la famille est libre. Soient (a, b, c, d) ∈ Q
4 tels que
a + b
√
2 + c
√
3 + d
√
6 = 0.
Si (c, d) = (0, 0), alors c + d
√
2 = 0 par irrationnalité de
√
2, donc
√
3 = −
a + b
√
2
c + d
√
2
.
Or Q[
√
2] est un corps, donc
√
3 = u + v
√
2, avec u et v ∈ Q. En élevant au
carré, il vient 2uv
√
2 = 3 − u
2
− 2v
2 , d’où uv = 0 par irrationnalité de
√
2. Si
u = 0, on obtient que
√
3 = v
√
2, ce qui est impossible car
3
2
est irrationnel.
Si v = 0, on obtient que u =
√
3, ce qui est impossible par irrationnalité de
√
3.
Il en résulte que c = d = 0, d’où a + b
√
2 = 0, d’où a = b = 0 par irrationnalité
de
√
2. La famille proposée étant génératrice, elle forme une base de K .
2) Posons a =
√
2 +
√
3 et montrons que K = Q[a].
On a (a−
√
2)
2 = 3, d’où
√
2 =
a
2
− 1
2a
, puis en élevant au carré a
4
−10a
2 +1 = 0.
Par conséquent, a est algébrique sur Q, et Q[a] est un corps. On déduit de la première élévation au carré que
√
2 ∈ Q[a]. Or
√
3 = a −
√
2 et
√
6 =
√
2
√
3, donc
ils appartiennent également à Q[a], qui est un espace vectoriel, donc K ⊂ Q[a].
Comme a ∈ K et K est une Q-algèbre, on a aussi Q[a] ⊂ K , d’où K = Q[a].
On a vu que a est algébrique, donc K est un corps et dim Q K = 4, donc le
polynôme minimal de a est de degré 4. D’après les calculs ci-dessus, il s’agit du
polynôme X
4
− 10X
2 + 1.
Exercice 2.26
Polytechnique MP 2007 ÃÃ
Quelle est la dimension du sous-espace engendré par les racines cinquièmes de
l’unité dans le Q-espace C ?
Soit Q ∈ Z[X ], on note Q le polynôme à coefficients dans le corps Z/5Z dont
les coefficients sont les classes modulo 5 de ceux de Q. On vérifie facilement que
AB = A B pour tout (A, B) ∈ Z[X ]
2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Mines-Ponts MP 2006 Ã
Soit K = Q + Q
√
2 + Q
√
3 + Q
√
6.
1) Montrer que la famille (1,
√
2,
√
3,
√
6) est une base du Q-espace vectoriel K .
2) Montrer que K est un sous-corps de R.
1) Montrons que la famille est libre. Soient (a, b, c, d) ∈ Q
4 tels que
a + b
√
2 + c
√
3 + d
√
6 = 0.
Si (c, d) = (0, 0), alors c + d
√
2 = 0 par irrationnalité de
√
2, donc
√
3 = −
a + b
√
2
c + d
√
2
.
Or Q[
√
2] est un corps, donc
√
3 = u + v
√
2, avec u et v ∈ Q. En élevant au
carré, il vient 2uv
√
2 = 3 − u
2
− 2v
2 , d’où uv = 0 par irrationnalité de
√
2. Si
u = 0, on obtient que
√
3 = v
√
2, ce qui est impossible car
3
2
est irrationnel.
Si v = 0, on obtient que u =
√
3, ce qui est impossible par irrationnalité de
√
3.
Il en résulte que c = d = 0, d’où a + b
√
2 = 0, d’où a = b = 0 par irrationnalité
de
√
2. La famille proposée étant génératrice, elle forme une base de K .
2) Posons a =
√
2 +
√
3 et montrons que K = Q[a].
On a (a−
√
2)
2 = 3, d’où
√
2 =
a
2
− 1
2a
, puis en élevant au carré a
4
−10a
2 +1 = 0.
Par conséquent, a est algébrique sur Q, et Q[a] est un corps. On déduit de la première élévation au carré que
√
2 ∈ Q[a]. Or
√
3 = a −
√
2 et
√
6 =
√
2
√
3, donc
ils appartiennent également à Q[a], qui est un espace vectoriel, donc K ⊂ Q[a].
Comme a ∈ K et K est une Q-algèbre, on a aussi Q[a] ⊂ K , d’où K = Q[a].
On a vu que a est algébrique, donc K est un corps et dim Q K = 4, donc le
polynôme minimal de a est de degré 4. D’après les calculs ci-dessus, il s’agit du
polynôme X
4
− 10X
2 + 1.
Exercice 2.26
Polytechnique MP 2007 ÃÃ
Quelle est la dimension du sous-espace engendré par les racines cinquièmes de
l’unité dans le Q-espace C ?
Soit Q ∈ Z[X ], on note Q le polynôme à coefficients dans le corps Z/5Z dont
les coefficients sont les classes modulo 5 de ceux de Q. On vérifie facilement que
AB = A B pour tout (A, B) ∈ Z[X ]
2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit