Bézout, il existe U et V ∈ Q[X ] tels que U P + V M a = 1. En appliquant
cette identité en a, on obtient U (a)P(a) = 1, donc P(a) est inversible dans
Q[a]. Ceci montre que Q[a] est un corps.
Exercice 2.23
Mines-Ponts MP 2005
1) Montrer que Q[
√
2] = {a + b
√
2 | (a, b) ∈ Q
2
} est un sous-corps de C.
2) Les corps Q[
√
2] et R sont-ils isomorphes ?
1) On remarque que Q[
√
2] contient Q, est stable par addition, multiplication et
passage à l’inverse, car (a + b
√
2)
−1 =
a − b
√
2
a
2
− 2b
2
, le dénominateur ne s’annulant
pas car
√
2 est irrationnel, donc est un sous-corps de C.
2) Soit f un isomorphisme de corps de R sur Q[
√
2]. On a :
f (
√
3)
2 = f (
√
3
2
) = f (3) = 3,
donc f (
√
3) = ±
√
3 et f (
√
3) ∈ Q[
√
2], donc ∃(a, b) ∈ Q
2 , a + b
√
2 =
√
3.
En élevant au carré, il vient 2ab
√
2 = 3 − a
2
− 2b
2 , or
√
2 est irrationnel, donc
a = 0 ou b = 0, ce qui est impossible car
3
2
et
√
3 sont irrationnels, donc
Q[
√
2] et R ne sont pas isomorphes.
Exercice 2.24
Centrale MP 2007
Soit P = X
3
− X − 1. Montrer que P est irréductible dans Q[X ] et qu’il a une
unique racine réelle a. Soit V = Vect Q {a
k
| k ∈ N}. Donner une base et la
dimension de V .
Soit a/b est une racine rationnelle de P, avec a et b entiers premiers entre eux. On a
alors a
3
− ab
2
− b
3 = 0, donc b divise a et a divise b, or 1 et −1 ne sont pas racines
de P, donc P n’a aucune racine dans Q, donc aucun diviseur de degré 1 dans Q[X ],
et comme il est de degré 3, il est irréductible dans Q[X ].
En étudiant ses variations, on voit qu’il possède une unique racine réelle a, comprise
entre 0 et 1.
On en déduit que a est algébrique et que P est le polynôme minimal de a, donc V
est un Q-espace vectoriel de dimension 3, et (1, a, a
2 ) est une base de V .