soit impair. Le coefficient de X
p+r est égal à b r +
i+ j= p+r,i p−1
a i b j . Ce coefficient
vaut 0 ou −2 donc est pair. D’autre part, la somme mise en jeu est paire car les a i
le sont, et comme b r est impair, on aboutit à une contradiction. On en déduit que les
a k , et par symétrie les b k , ne sont pas tous pairs. On désigne par r (resp. s) le plus
grand indice tel que a r (resp. b s ) soit impair. Le coefficient de X
r+s doit être pair et
vaut
i+ j=r+s
a i b j . Si i < r , alors j > s donc b j est pair. Si i > r , alors a i est pair,
donc tous les termes de la somme sont pairs sauf a r b s qui est impair, ce qui apporte
la contradiction recherchée.
Remarque : une présentation plus élégante consisterait à réduire l’égalité X
n
−2 = AB
dans Z/2Z[X ], ce qui donnerait par unicité de la décomposition A = X
p et
B = X
n− p , donc les a k et les b k sont pairs et le terme constant serait multiple de 4.
Cela montre qu’à la différence de C[X ] ou R[X ], il existe dans Q[X ] des polynômes
irréductibles de tout degré.
2.3 COMPLÉMENTS : NOMBRES ALGÉBRIQUES
ET TRANSCENDANTS, EXTENSIONS DE CORPS
Ce qu’il faut savoir
Soit a ∈ C, on pose Q[a] = {P(a) | P ∈ Q[X ]}.
• L’ensemble Q[a] est la plus petite Q-algèbre de C contenant a.
• Un nombre complexe a est dit algébrique (sur Q) lorsqu’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients dans Q. Si tel est le cas, l’ensemble
I a = {P ∈ Q[X ] | P(a) = 0} est un idéal de Q[X ] non réduit à {0}, donc il
existe un unique polynôme unitaire M a tel que I a = M a Q[X ]. Le polynôme
M a est appelé polynôme minimal de a.
• Si a est algébrique, alors Q[a] est un Q-espace vectoriel de dimension deg M a ,
le polynôme M a est irréductible dans Q[X ] et Q[a] est un corps.
preuve :
◦ Soit d = deg M a . Par minimalité de M a , la famille (a
k ) 0kd−1 est libre
dans Q[a]. Si P ∈ Q[X ], par division euclidienne par M a , il existe Q
et R ∈ Q[X ] tels que P = M a Q + R, avec deg R < d. Par suite,
P(a) = R(a) ∈ Vect(a
k ) 0kd−1 . La famille (a
k ) 0kd−1 , de cardinal d,
est donc une base de Q[a].
◦ Supposons que M a = P Q, avec P et Q ∈ Q[X ], non constants. En prenant
la valeur en a, on a 0 = P(a)Q(a), donc l’un des polynômes P ou Q appartient à I a et serait multiple de M a , ce qui est impossible pour cause de degré,
donc M a est irréductible dans Q[X ].
◦ Soit P(a) un élément non nul de Q[a]. Le polynôme P n’est pas multiple
de M a , lequel est irréductible, donc est premier avec M a . Par théorème de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
p+r est égal à b r +
i+ j= p+r,i p−1
a i b j . Ce coefficient
vaut 0 ou −2 donc est pair. D’autre part, la somme mise en jeu est paire car les a i
le sont, et comme b r est impair, on aboutit à une contradiction. On en déduit que les
a k , et par symétrie les b k , ne sont pas tous pairs. On désigne par r (resp. s) le plus
grand indice tel que a r (resp. b s ) soit impair. Le coefficient de X
r+s doit être pair et
vaut
i+ j=r+s
a i b j . Si i < r , alors j > s donc b j est pair. Si i > r , alors a i est pair,
donc tous les termes de la somme sont pairs sauf a r b s qui est impair, ce qui apporte
la contradiction recherchée.
Remarque : une présentation plus élégante consisterait à réduire l’égalité X
n
−2 = AB
dans Z/2Z[X ], ce qui donnerait par unicité de la décomposition A = X
p et
B = X
n− p , donc les a k et les b k sont pairs et le terme constant serait multiple de 4.
Cela montre qu’à la différence de C[X ] ou R[X ], il existe dans Q[X ] des polynômes
irréductibles de tout degré.
2.3 COMPLÉMENTS : NOMBRES ALGÉBRIQUES
ET TRANSCENDANTS, EXTENSIONS DE CORPS
Ce qu’il faut savoir
Soit a ∈ C, on pose Q[a] = {P(a) | P ∈ Q[X ]}.
• L’ensemble Q[a] est la plus petite Q-algèbre de C contenant a.
• Un nombre complexe a est dit algébrique (sur Q) lorsqu’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients dans Q. Si tel est le cas, l’ensemble
I a = {P ∈ Q[X ] | P(a) = 0} est un idéal de Q[X ] non réduit à {0}, donc il
existe un unique polynôme unitaire M a tel que I a = M a Q[X ]. Le polynôme
M a est appelé polynôme minimal de a.
• Si a est algébrique, alors Q[a] est un Q-espace vectoriel de dimension deg M a ,
le polynôme M a est irréductible dans Q[X ] et Q[a] est un corps.
preuve :
◦ Soit d = deg M a . Par minimalité de M a , la famille (a
k ) 0kd−1 est libre
dans Q[a]. Si P ∈ Q[X ], par division euclidienne par M a , il existe Q
et R ∈ Q[X ] tels que P = M a Q + R, avec deg R < d. Par suite,
P(a) = R(a) ∈ Vect(a
k ) 0kd−1 . La famille (a
k ) 0kd−1 , de cardinal d,
est donc une base de Q[a].
◦ Supposons que M a = P Q, avec P et Q ∈ Q[X ], non constants. En prenant
la valeur en a, on a 0 = P(a)Q(a), donc l’un des polynômes P ou Q appartient à I a et serait multiple de M a , ce qui est impossible pour cause de degré,
donc M a est irréductible dans Q[X ].
◦ Soit P(a) un élément non nul de Q[a]. Le polynôme P n’est pas multiple
de M a , lequel est irréductible, donc est premier avec M a . Par théorème de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit