Chap. 2. Compléments sur les polynômes
divise d
, donc d = d
. Il en résulte que toutes les racines du polynôme
d|n
F d
sont simples, et sont racines de X
n
− 1.
Soit k ∈ [[1 , n]], on note d le PGCD de k et n, donc on peut écrire k = jd et
n = dd avec j et d premiers entre eux, donc e
2ikp/n = e
2i jp/d , qui est racine de
F d . Par conséquent, les racines de X
n
− 1, qui sont simples, sont aussi racines
de
d|n
F d . Comme ces deux polynômes sont unitaires, on en déduit qu’ils sont
égaux.
2) • Soient A ∈ Z[X ] et B ∈ Z[X ] unitaire. Démontrons qu’il existe un couple
unique (Q, R) ∈ Z[X ] tel que A = B Q + R avec R = 0 ou deg R < deg B. On
procède comme pour la division euclidienne dans K [X ], où K est un corps.
◦ L’existence se montre par récurrence sur le degré de A : soit n = deg A et
p = deg B. Si n < p, alors on prend Q = 0 et R = A. Si n p, alors on
applique l’hypothèse de récurrence à A 1 = A − X
n− p et B.
◦ La preuve de l’unicité est la même que dans K [X ] : si A = B Q+R = B Q 1 +R 1 ,
alors B(Q − Q 1 ) = R 1 − R, donc en comparant les degrés, on en déduit que
R − R 1 = 0 puis Q − Q 1 = 0.
• Montrons par récurrence sur n que F n ∈ Z[X ].
On a F 1 = X − 1, F 2 = X + 1, F 3 = X
2 + X + 1 qui appartiennent à Z[X ].
Supposons que F k ∈ Z[X ] pour tout k n − 1. Le polynôme P =
d|n, d
appartient alors à Z[X ]. Or X
n
−1 = F n P, donc par unicité de la division euclidienne dans Z[X ], on en déduit que F n est le quotient de la division euclidienne
de X
n
− 1 par P, donc appartient à Z[X ], ce qui termine la récurrence.
Remarque
On peut compléter l’exercice en montrant que F n est irréductible dans Z[X ].
Exercice 2.22
Centrale MP 2005 ÃÃ
Montrer que X
n
− 2 est un polynôme irréductible de Q[X ].
En utilisant l’exercice 2.19 page 44, il suffit de montrer que X
n
− 2 est irréductible
dans Z[X ]. Supposons par l’absurde qu’il s’écrive AB, avec A et B ∈ Z[X ]. Quitte
à changer A en −A, on peut écrire A = X
p +
p−1
k=0
a k X
k et B = X
n− p +
n− p−1
k=0
b k X
k .
Supposons que tous les a k soient pairs. Tous les b k ne le sont pas sans quoi le terme
constant, égal à −2, serait multiple de 4. On note r le plus grand indice tel que b r
divise d
, donc d = d
. Il en résulte que toutes les racines du polynôme
d|n
F d
sont simples, et sont racines de X
n
− 1.
Soit k ∈ [[1 , n]], on note d le PGCD de k et n, donc on peut écrire k = jd et
n = dd avec j et d premiers entre eux, donc e
2ikp/n = e
2i jp/d , qui est racine de
F d . Par conséquent, les racines de X
n
− 1, qui sont simples, sont aussi racines
de
d|n
F d . Comme ces deux polynômes sont unitaires, on en déduit qu’ils sont
égaux.
2) • Soient A ∈ Z[X ] et B ∈ Z[X ] unitaire. Démontrons qu’il existe un couple
unique (Q, R) ∈ Z[X ] tel que A = B Q + R avec R = 0 ou deg R < deg B. On
procède comme pour la division euclidienne dans K [X ], où K est un corps.
◦ L’existence se montre par récurrence sur le degré de A : soit n = deg A et
p = deg B. Si n < p, alors on prend Q = 0 et R = A. Si n p, alors on
applique l’hypothèse de récurrence à A 1 = A − X
n− p et B.
◦ La preuve de l’unicité est la même que dans K [X ] : si A = B Q+R = B Q 1 +R 1 ,
alors B(Q − Q 1 ) = R 1 − R, donc en comparant les degrés, on en déduit que
R − R 1 = 0 puis Q − Q 1 = 0.
• Montrons par récurrence sur n que F n ∈ Z[X ].
On a F 1 = X − 1, F 2 = X + 1, F 3 = X
2 + X + 1 qui appartiennent à Z[X ].
Supposons que F k ∈ Z[X ] pour tout k n − 1. Le polynôme P =
d|n, d
appartient alors à Z[X ]. Or X
n
−1 = F n P, donc par unicité de la division euclidienne dans Z[X ], on en déduit que F n est le quotient de la division euclidienne
de X
n
− 1 par P, donc appartient à Z[X ], ce qui termine la récurrence.
Remarque
On peut compléter l’exercice en montrant que F n est irréductible dans Z[X ].
Exercice 2.22
Centrale MP 2005 ÃÃ
Montrer que X
n
− 2 est un polynôme irréductible de Q[X ].
En utilisant l’exercice 2.19 page 44, il suffit de montrer que X
n
− 2 est irréductible
dans Z[X ]. Supposons par l’absurde qu’il s’écrive AB, avec A et B ∈ Z[X ]. Quitte
à changer A en −A, on peut écrire A = X
p +
p−1
k=0
a k X
k et B = X
n− p +
n− p−1
k=0
b k X
k .
Supposons que tous les a k soient pairs. Tous les b k ne le sont pas sans quoi le terme
constant, égal à −2, serait multiple de 4. On note r le plus grand indice tel que b r