Exercice 2.20
Polytechnique MP 2005 Ã
Etudier l’irréductibilité dans Z[X ] puis dans Q[X ] de X
4
−10X
3 +21X
2
−8X +11.
Le polynôme P étudié est à coefficients dans Z et unitaire, donc par l’exercice 2.19
page 44, l’irréductibilité dans Q[X ] se ramène à celle dans Z[X ] .
Supposons par l’absurde que P soit le produit de deux polynômes A et B à coefficients entiers. Distinguons deux cas selon le degré de A.
• Si A est de degré 1, P aurait une racine a dans Z, d’où −11 = a(a
3
−10a
2 +21a−8),
et a diviserait 11. On vérifie alors facilement que 1,−1,11 et −11 ne sont pas
racines.
• Si A est de degré 2, on aurait P = (X
2 + a X + b)(X
2 + cX + d) avec a, b, c, d ∈ Z.
En regardant les termes constants, on obtient bd = 11, donc par symétrie, on peut
supposer b = 11 ou b = −11.
◦ Si b = 11, alors P = (X
2 + a X + 11)(X
2 + cX + 1). En regardant les termes de
degré 2 et 3, on trouve a +c = −10 et ac = 9, d’où a = −1, c = −9 ou a = −9,
c = −1. Dans les deux cas, le produit ne redonne pas le polynôme initial.
◦ Si b = −11, alors P = (X
2 + a X − 11)(X
2 + cX − 1). On obtient comme avant
a + c = −10 et ac = 33, dont les solutions ne sont pas entières.
Tous les cas de figure ont été envisagés, donc P est irréductible dans Z[X ], et dans
Q[X ].
Exercice 2.21
Polytechnique MP 2007
Pour n ∈ N
∗ , on pose F n =
1kn, k∧n=1
X − e
2ikp/n
, appelé polynôme
cyclotomique d’indice n.
1) Montrer que
d|n
F d = X
n
− 1.
2) Montrer que F n appartient à Z[X ].
Indication de la rédaction : justifier l’existence et l’unicité de la division euclidienne d’un polynôme de Z[X ] par un polynôme unitaire de Z[X ].
1) Soient d et d
deux diviseurs de n dans N. On suppose que les polynômes F d et
F d ont une racine commune, c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [[1 , d]] premier avec
d, et k
∈ [[1 , d
]] premier avec d
, tels que e
2ikp/d = e
2ik
p/d
. En élevant à la
puissance d, on obtient e
2idk
p/d
= 1 donc d
divise dk
, puis d
divise d par
théorème de Gauss. Comme d et d
jouent des rôles symétriques, on a aussi d
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Polytechnique MP 2005 Ã
Etudier l’irréductibilité dans Z[X ] puis dans Q[X ] de X
4
−10X
3 +21X
2
−8X +11.
Le polynôme P étudié est à coefficients dans Z et unitaire, donc par l’exercice 2.19
page 44, l’irréductibilité dans Q[X ] se ramène à celle dans Z[X ] .
Supposons par l’absurde que P soit le produit de deux polynômes A et B à coefficients entiers. Distinguons deux cas selon le degré de A.
• Si A est de degré 1, P aurait une racine a dans Z, d’où −11 = a(a
3
−10a
2 +21a−8),
et a diviserait 11. On vérifie alors facilement que 1,−1,11 et −11 ne sont pas
racines.
• Si A est de degré 2, on aurait P = (X
2 + a X + b)(X
2 + cX + d) avec a, b, c, d ∈ Z.
En regardant les termes constants, on obtient bd = 11, donc par symétrie, on peut
supposer b = 11 ou b = −11.
◦ Si b = 11, alors P = (X
2 + a X + 11)(X
2 + cX + 1). En regardant les termes de
degré 2 et 3, on trouve a +c = −10 et ac = 9, d’où a = −1, c = −9 ou a = −9,
c = −1. Dans les deux cas, le produit ne redonne pas le polynôme initial.
◦ Si b = −11, alors P = (X
2 + a X − 11)(X
2 + cX − 1). On obtient comme avant
a + c = −10 et ac = 33, dont les solutions ne sont pas entières.
Tous les cas de figure ont été envisagés, donc P est irréductible dans Z[X ], et dans
Q[X ].
Exercice 2.21
Polytechnique MP 2007
Pour n ∈ N
∗ , on pose F n =
1kn, k∧n=1
X − e
2ikp/n
, appelé polynôme
cyclotomique d’indice n.
1) Montrer que
d|n
F d = X
n
− 1.
2) Montrer que F n appartient à Z[X ].
Indication de la rédaction : justifier l’existence et l’unicité de la division euclidienne d’un polynôme de Z[X ] par un polynôme unitaire de Z[X ].
1) Soient d et d
deux diviseurs de n dans N. On suppose que les polynômes F d et
F d ont une racine commune, c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [[1 , d]] premier avec
d, et k
∈ [[1 , d
]] premier avec d
, tels que e
2ikp/d = e
2ik
p/d
. En élevant à la
puissance d, on obtient e
2idk
p/d
= 1 donc d
divise dk
, puis d
divise d par
théorème de Gauss. Comme d et d
jouent des rôles symétriques, on a aussi d
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit