Chap. 2. Compléments sur les polynômes
Le système linéaire
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b 0 H 0 (0) + b 1 H 1 (0) + · · · + b d H d (0) = P(0)
b 0 H 0 (1) + b 1 H 1 (1) + · · · + b d H d (1) = P(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 0 H 0 (d) + b 1 H 1 (d) + · · · + b d H d (d) = P(d)
dont les inconnues sont b 0 , . . . , b d est triangulaire inférieur à coefficients dans Z et ses coefficients
diagonaux valent 1, donc son déterminant est égal à 1. Il résulte alors des formules
de Cramer que les inconnues b k appartiennent à Z. Comme les polynômes H k sont à
coefficients dans Q, cela prouve que P ∈ Q[X ], et comme les entiers k! divisent d!
lorsque k d, le polynôme d! P appartient à Z[X ].
Exercice 2.19
Polytechnique MP 2006 Ã
Soit P ∈ Z[X ]. On suppose que P s’écrit comme produit de deux polynômes
non constants de Q[X ]. Montrer que P s’écrit comme produit de deux polynômes
non constants de Z[X ].
Indications de la rédaction : Soit P un polynôme à coefficients dans Z, on note
c(P)– appelé contenu de P–le PGCD de ses coefficients. Démontrer que pour P
et Q ∈ Z[X ], on a :
− Si c(P) = 1 et c(Q) = 1, alors c(P Q) = 1.
− c(P Q) = c(P)c(Q).
• Soient P et Q appartenant à Z[X ].
◦ On suppose que c(P) = c(Q) = 1 et que c(P Q) = 1. Soit p un nombre premier
divisant tous les coefficients de P Q. Si A =
a k X
k , on note A le polynôme
a k X
k à coefficients dans Z/ pZ[X ]. On vérifie facilement que P Q = P Q.
Par hypothèse, P Q = 0, or Z/ pZ est un corps, donc Z/ pZ[X ] est intègre, d’où
P = 0 ou Q = 0, donc p divise tous les coefficients de P ou tous ceux de Q,
ce qui est absurde car c(P) = 1 et c(Q) = 1.
◦ On écrit P = c(P)P 1 et Q = c(Q)Q 1 avec c(P 1 ) = c(Q 1 ) = 1, donc
c(P 1 Q 1 ) = 1, or P Q = c(P)c(Q)P 1 Q 1 , d’où c(P Q) = c(P)c(Q).
• Soit P ∈ Z[X ] s’écrivant P = P 1 P 2 avec P 1 et P 2 ∈ Q[X ]. Notons m 1 et m 2 les
PPCM des coefficients de P 1 et P 2 , de sorte que m 1 P 1 et m 2 P 2 appartiennent à
Z[X ]. Comme m 1 m 2 P = m 1 P 1 m 2 P 2 , on a m 1 m 2 c(P) = c(m 1 P 1 ) c(m 2 P 2 ) (*). En
factorisant les coefficients de m 1 P 1 par leur PGCD, on peut écrire m 1 P 1 = c(m 1 P 1 )A 1
et de même m 2 P 2 = c(m 2 P 2 ) A 2 , où A 1 et A 2 ∈ Z[X ] et c(A 1 ) = c(A 2 ) = 1.
Par suite, m 1 m 2 P = c(m 1 P 1 ) c(m 2 P 2 ) A 1 A 2 , d’où en utilisant la relation (*),
P = c(P) A 1 A 2 , ce qui montre que P est produit de deux polynômes non
constants de Z[X ].
Le système linéaire
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b 0 H 0 (0) + b 1 H 1 (0) + · · · + b d H d (0) = P(0)
b 0 H 0 (1) + b 1 H 1 (1) + · · · + b d H d (1) = P(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b 0 H 0 (d) + b 1 H 1 (d) + · · · + b d H d (d) = P(d)
dont les inconnues sont b 0 , . . . , b d est triangulaire inférieur à coefficients dans Z et ses coefficients
diagonaux valent 1, donc son déterminant est égal à 1. Il résulte alors des formules
de Cramer que les inconnues b k appartiennent à Z. Comme les polynômes H k sont à
coefficients dans Q, cela prouve que P ∈ Q[X ], et comme les entiers k! divisent d!
lorsque k d, le polynôme d! P appartient à Z[X ].
Exercice 2.19
Polytechnique MP 2006 Ã
Soit P ∈ Z[X ]. On suppose que P s’écrit comme produit de deux polynômes
non constants de Q[X ]. Montrer que P s’écrit comme produit de deux polynômes
non constants de Z[X ].
Indications de la rédaction : Soit P un polynôme à coefficients dans Z, on note
c(P)– appelé contenu de P–le PGCD de ses coefficients. Démontrer que pour P
et Q ∈ Z[X ], on a :
− Si c(P) = 1 et c(Q) = 1, alors c(P Q) = 1.
− c(P Q) = c(P)c(Q).
• Soient P et Q appartenant à Z[X ].
◦ On suppose que c(P) = c(Q) = 1 et que c(P Q) = 1. Soit p un nombre premier
divisant tous les coefficients de P Q. Si A =
a k X
k , on note A le polynôme
a k X
k à coefficients dans Z/ pZ[X ]. On vérifie facilement que P Q = P Q.
Par hypothèse, P Q = 0, or Z/ pZ est un corps, donc Z/ pZ[X ] est intègre, d’où
P = 0 ou Q = 0, donc p divise tous les coefficients de P ou tous ceux de Q,
ce qui est absurde car c(P) = 1 et c(Q) = 1.
◦ On écrit P = c(P)P 1 et Q = c(Q)Q 1 avec c(P 1 ) = c(Q 1 ) = 1, donc
c(P 1 Q 1 ) = 1, or P Q = c(P)c(Q)P 1 Q 1 , d’où c(P Q) = c(P)c(Q).
• Soit P ∈ Z[X ] s’écrivant P = P 1 P 2 avec P 1 et P 2 ∈ Q[X ]. Notons m 1 et m 2 les
PPCM des coefficients de P 1 et P 2 , de sorte que m 1 P 1 et m 2 P 2 appartiennent à
Z[X ]. Comme m 1 m 2 P = m 1 P 1 m 2 P 2 , on a m 1 m 2 c(P) = c(m 1 P 1 ) c(m 2 P 2 ) (*). En
factorisant les coefficients de m 1 P 1 par leur PGCD, on peut écrire m 1 P 1 = c(m 1 P 1 )A 1
et de même m 2 P 2 = c(m 2 P 2 ) A 2 , où A 1 et A 2 ∈ Z[X ] et c(A 1 ) = c(A 2 ) = 1.
Par suite, m 1 m 2 P = c(m 1 P 1 ) c(m 2 P 2 ) A 1 A 2 , d’où en utilisant la relation (*),
P = c(P) A 1 A 2 , ce qui montre que P est produit de deux polynômes non
constants de Z[X ].