part pour i = j, les polynômes Q i et Q j appartiennent à Q[X ] et sont premiers entre
eux dans Q[X ], donc par théorème de Bézout, il existe U et V dans Q[X ] tels que
U Q i + V Q j = 1. Comme U et V appartiennent à C[X ], on en déduit que Q i et
Q j sont également premiers entre eux dans C[X ]. Par conséquent, ils n’ont pas de
racines communes dans C. Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles,
on en déduit que Q = Q 1 · · · Q r , donc Q ∈ Q[X ].
2.2 POLYNÔMES À COEFFICIENTS ENTIERS
Exercice 2.17
Polytechnique MP 2005
1) Le polynôme X
4 + 4 est-il irréductible dans Q[X ] ?
2) Quels sont les entiers naturels n tels que n
4 + 4 soit premier ?
1) On a
X
4 + 4 = X
4 + 4X
2 + 4 − 4X
2 = (X
2 + 2)
2
− 4X
2 = (X
2 + 2X + 2)(X
2
− 2X + 2).
Les deux trinômes obtenus sont à discriminant strictement négatif, donc sont irréductibles dans Q[X ].
2) Si n ∈ N, n
4 + 4 = (n
2 + 2n + 2)(n
2
− 2n + 2). Le premier facteur est un entier 2,
donc si n
4 + 4 est premier, nécessairement n
2
− 2n + 2 = 1, ce qui impose n = 1,
auquel cas n
4 + 4 = 5 est bien premier. La réponse est donc n = 1.
Exercice 2.18
Centrale MP 2006 et 2007
Soit P ∈ C[X ] de degré d tel que ∀n ∈ N, P(n) ∈ Z.
1) Montrer que P ∈ Q[X ].
2) Montrer que d!P ∈ Z[X ].
Indication de la rédaction : introduire les polynômes de Hilbert (H k ) définis par
H 0 = 1 et pour k 1, H k =
X (X − 1) · · · (X − k + 1)
k!
.
Nous allons traiter les deux questions en même temps. Chaque polynôme H k est de
degré k, donc la famille (H k ) 0kd , échelonnée en degrés, est une base de C d [X ],
donc il existe (b k ) 0kd ∈ C
d+1 tel que P =
0kd
b k H k . Soit n ∈ N. Si n < k, alors
H k (n) = 0 et si n k, alors H k (n) =
n
k
, en particulier, H k (k) = 1.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
eux dans Q[X ], donc par théorème de Bézout, il existe U et V dans Q[X ] tels que
U Q i + V Q j = 1. Comme U et V appartiennent à C[X ], on en déduit que Q i et
Q j sont également premiers entre eux dans C[X ]. Par conséquent, ils n’ont pas de
racines communes dans C. Par unicité de la décomposition en facteurs irréductibles,
on en déduit que Q = Q 1 · · · Q r , donc Q ∈ Q[X ].
2.2 POLYNÔMES À COEFFICIENTS ENTIERS
Exercice 2.17
Polytechnique MP 2005
1) Le polynôme X
4 + 4 est-il irréductible dans Q[X ] ?
2) Quels sont les entiers naturels n tels que n
4 + 4 soit premier ?
1) On a
X
4 + 4 = X
4 + 4X
2 + 4 − 4X
2 = (X
2 + 2)
2
− 4X
2 = (X
2 + 2X + 2)(X
2
− 2X + 2).
Les deux trinômes obtenus sont à discriminant strictement négatif, donc sont irréductibles dans Q[X ].
2) Si n ∈ N, n
4 + 4 = (n
2 + 2n + 2)(n
2
− 2n + 2). Le premier facteur est un entier 2,
donc si n
4 + 4 est premier, nécessairement n
2
− 2n + 2 = 1, ce qui impose n = 1,
auquel cas n
4 + 4 = 5 est bien premier. La réponse est donc n = 1.
Exercice 2.18
Centrale MP 2006 et 2007
Soit P ∈ C[X ] de degré d tel que ∀n ∈ N, P(n) ∈ Z.
1) Montrer que P ∈ Q[X ].
2) Montrer que d!P ∈ Z[X ].
Indication de la rédaction : introduire les polynômes de Hilbert (H k ) définis par
H 0 = 1 et pour k 1, H k =
X (X − 1) · · · (X − k + 1)
k!
.
Nous allons traiter les deux questions en même temps. Chaque polynôme H k est de
degré k, donc la famille (H k ) 0kd , échelonnée en degrés, est une base de C d [X ],
donc il existe (b k ) 0kd ∈ C
d+1 tel que P =
0kd
b k H k . Soit n ∈ N. Si n < k, alors
H k (n) = 0 et si n k, alors H k (n) =
n
k
, en particulier, H k (k) = 1.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit