Exercice 2.14
Centrale MP 2007
Soit (P, Q) ∈ Q[X ]
2 . Démontrer l’équivalence entre les assertions suivantes :
• Les polynômes P et Q sont premiers entre eux dans C[X ].
• Les polynômes P et Q sont premiers entre eux dans Q[X ].
• Si P et Q sont premiers entre eux dans C[X ], alors ils ne peuvent pas avoir de
diviseur commun dans Q[X ] non constant (car ce serait également un diviseur
dans C[X ]) donc ils sont premiers entre eux dans Q[X ].
• Si P et Q sont premiers entre eux dans Q[X ], alors il existe grâce au théorème de
Bézout deux polynômes U et V dans Q[X ] tels que U P + V Q = 1. Ceci constitue
également une relation de Bézout dans C[X ], donc P et Q sont premiers entre eux
dans C[X ].
Exercice 2.15
Polytechnique MP 2005, 2006
Montrer que tout polynôme irréductible de Q[X ] n’a que des racines simples
dans C.
On applique le résultat de l’exercice précédent aux polynômes P et P
, qui appartiennent à Q[X ]. Comme P est irréductible dans Q[X ] et que P
est de degré inférieur à celui de P, leur PGCD dans Q[X ] est un diviseur strict de P, donc P et P
sont premiers entre eux dans Q[X ]. En conséquence, ils sont également premiers
entre eux dans C[X ], ce qui signifie exactement que P et P
n’ont pas de racines
communes, c’est-à-dire que les racines de P dans C sont simples.
Exercice 2.16
Polytechnique MP 2005 Ã
Soient n ∈ N
∗ , x 1 , . . . , x n dans C deux à deux distincts, m 1 , . . . , m n dans
N
∗ tels que le polynôme P =
n
i=1
(X − x i )
m i soit dans Q[X ]. Montrer que
Q =
n
i=1
(X − x i ) est dans Q[X ].
On décompose P en facteurs irréductibles dans Q[X ], sous la forme Q
a 1
1 · · · Q
a r
r , où
les polynômes Q i sont irréductibles, deux à deux distincts, et les a i ∈ N
∗ . D’après
l’exercice 2.15 page 42, chaque polynôme Q i est à racines simples dans C. D’autre