Exercice 2.12
Polytechnique MP 2007
Soit P ∈ R[X ] scindé à racines simples dans R[X ]. Montrer que P ne peut avoir
deux coefficients consécutifs nuls.
Notons P =
n
j=0
a j X
j avec a n = 0. On raisonne par l’absurde en supposant qu’il
existe k n − 1 tel que a k = a k+1 = 0. On a alors n 3. En appliquant le
théorème de Rolle à P dans chaque intervalle formé de deux racines consécutives de
P, on obtient ainsi n − 1 racines distinctes de P
qui est de degré n − 1, donc P
est
également simplement scindé dans R[X ]. On en déduit par récurrence que P
(k) est
simplement scindé dans R[X ]. Or P
(k) =
n
j=k+2
j( j − 1) · · · ( j − k + 1)a j X
j−k qui est
divisible par X
2 , donc 0 est racine double de P
(k) , ce qui entraîne une contradiction.
Exercice 2.13
Polytechnique MP 2006, PC 2007 Ã
Soit P =
n
k=0
a k X
k un polynôme de degré n 2 et scindé sur R. Montrer que
∀k ∈ [[1 , n − 1]], a
2
k a k−1 a k+1 .
D’après l’exercice 2.7 page 38, P
est scindé dans R[X ], et par récurrence P
(k−1)
également. On écrit alors P
(k−1) sous la forme l
r
j=1
(X − b j ) (avec b j ∈ R pour
tout j), d’où
P
(k)
P
(k−1)
=
r
j=1
1
X − b j
.
On dérive :
P
(k+1) P
(k−1)
− (P
(k) )
2
(P
(k−1) )
2
= −
r
j=1
1
(X − b j )
2
.
En multipliant par (P
(k−1) )
2 , on en déduit que :
∀x ∈ R, P
(k+1) (x)P
(k−1) (x) − P
(k) (x)
2 0.
En appliquant cette relation en 0, on obtient (k + 1)! a k+1 (k − 1)! a k−1 − k!
2 a
2
k 0,
d’où a k+1 a k−1
k
k + 1
a
2
k . Or k k + 1 et a
2
k 0, d’où finalement a k+1 a k−1 a
2
k .
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