Chap. 2. Compléments sur les polynômes
est racine de P
d’ordre r i − 1. Le théorème de Rolle appliqué à P entre a i et a i+1
montre qu’il existe une racine b i de P
dans l’intervalle ] a i , a i+1 [ . On obtient
ainsi pour P
au moins d = p − 1 +
p
i=1
(r i − 1) racines comptées avec leur ordre
de multiplicité, or d = p − 1 +
p
i=1
r i − p = n − 1 qui est le degré de P
, donc
on obtient ainsi toutes les racines de P
. Par conséquent, P
est scindé sur R et
les b i sont racines simples de P
, donc les seules racines de P
susceptibles d’être
multiples sont les a i .
2) On raisonne par l’absurde en supposant Q scindé sur R. D’après la question précédente, Q
et Q
sont scindés sur R.
Or Q
= 10X
9 +9a X
8 +8bX
7 +7cX
6 +1 et Q
= 90X
8 +72a X
7 +56bX
6 +42cX
5 ,
donc 0 est racine multiple de Q
sans être racine de Q
, ce que contredit la question précédente appliquée au polynôme Q
.
Exercice 2.10
Mines-Ponts PC 2005, Centrale MP 2006
Soient n ∈ N
∗ , P ∈ R[X ] de degré n ayant n racines réelles distinctes, et
Q = P
2 + 1. Montrer que Q a 2n racines distinctes dans C.
Il s’agit d’une application directe du fait que si P est scindé dans R, P
l’est également (voir exercice 2.7 page 38). En effet, Q
= 2P P
, donc si z est une racine
multiple de Q, alors P(z)
2 = −1 = 0 et Q
(z) = 0, d’où P
(z) = 0, donc z est
réel. Mais dans ce cas, P(z) est réel et son carré ne peut être égal à −1. En définitive, toutes les racines de Q sont simples, et comme il est de degré 2n, elles sont au
nombre de 2n.
Exercice 2.11
Polytechnique MP 2006
Soit n ∈ N
∗ . On pose P =
n−1
i=0
(X − i). Soit c un réel, quel est l’ordre de
multiplicité maximal d’une racine de P − c ?
Par théorème de Rolle, P
possède une racine, notée a k , dans chaque intervalle
] k − 1, k [ pour 1 k n − 1, et comme deg P
= n − 1, ce sont les seules
racines de P
dans C et elles sont simples. Si x est racine multiple de P − c, alors
P(x) = c et P
(x) = 0, donc x est l’un des réels a k .
Si c = P(a k ) pour tout k, alors les racines de P − c sont simples.
Si x = a k (on a alors c = P(a k )), P
(a k ) = 0 car P
est à racines simples, donc a k
est racine exactement double de P − P(a k ).
est racine de P
d’ordre r i − 1. Le théorème de Rolle appliqué à P entre a i et a i+1
montre qu’il existe une racine b i de P
dans l’intervalle ] a i , a i+1 [ . On obtient
ainsi pour P
au moins d = p − 1 +
p
i=1
(r i − 1) racines comptées avec leur ordre
de multiplicité, or d = p − 1 +
p
i=1
r i − p = n − 1 qui est le degré de P
, donc
on obtient ainsi toutes les racines de P
. Par conséquent, P
est scindé sur R et
les b i sont racines simples de P
, donc les seules racines de P
susceptibles d’être
multiples sont les a i .
2) On raisonne par l’absurde en supposant Q scindé sur R. D’après la question précédente, Q
et Q
sont scindés sur R.
Or Q
= 10X
9 +9a X
8 +8bX
7 +7cX
6 +1 et Q
= 90X
8 +72a X
7 +56bX
6 +42cX
5 ,
donc 0 est racine multiple de Q
sans être racine de Q
, ce que contredit la question précédente appliquée au polynôme Q
.
Exercice 2.10
Mines-Ponts PC 2005, Centrale MP 2006
Soient n ∈ N
∗ , P ∈ R[X ] de degré n ayant n racines réelles distinctes, et
Q = P
2 + 1. Montrer que Q a 2n racines distinctes dans C.
Il s’agit d’une application directe du fait que si P est scindé dans R, P
l’est également (voir exercice 2.7 page 38). En effet, Q
= 2P P
, donc si z est une racine
multiple de Q, alors P(z)
2 = −1 = 0 et Q
(z) = 0, d’où P
(z) = 0, donc z est
réel. Mais dans ce cas, P(z) est réel et son carré ne peut être égal à −1. En définitive, toutes les racines de Q sont simples, et comme il est de degré 2n, elles sont au
nombre de 2n.
Exercice 2.11
Polytechnique MP 2006
Soit n ∈ N
∗ . On pose P =
n−1
i=0
(X − i). Soit c un réel, quel est l’ordre de
multiplicité maximal d’une racine de P − c ?
Par théorème de Rolle, P
possède une racine, notée a k , dans chaque intervalle
] k − 1, k [ pour 1 k n − 1, et comme deg P
= n − 1, ce sont les seules
racines de P
dans C et elles sont simples. Si x est racine multiple de P − c, alors
P(x) = c et P
(x) = 0, donc x est l’un des réels a k .
Si c = P(a k ) pour tout k, alors les racines de P − c sont simples.
Si x = a k (on a alors c = P(a k )), P
(a k ) = 0 car P
est à racines simples, donc a k
est racine exactement double de P − P(a k ).