2) Soit z une racine de P
qui n’est pas racine de P. On applique la relation précédente en z et on la conjugue, ce qui donne 0 =
m
j=1
r j
z − a j
=
m
j=1
r j
z − a j
|z − a j |
2
, ce
qui signifie que z est barycentre des points a j affectés des coefficients (positifs)
r j
|z − a j |
2
. Si z est racine multiple de P, le résultat est évident.
3) Comme la droite réelle est convexe, tout barycentre à coefficients positifs de
points de cette droite lui appartient également, donc toutes les racines de P
sont
réelles (et sont comprises entre la plus petite et la plus grande racine de P). A
noter qu’on peut retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Rolle à P et
en comptant le nombre de racines obtenues.
Le raisonnement est identique pour le demi-plan x > 0 qui est convexe.
Remarque
Cette propriété très importante sera souvent utilisée dans la suite.
Exercice 2.8
Centrale MP 2006 et 2007, Polytechnique MP 2007
Déterminer les polynômes P ∈ R[X ] tels que P
divise P.
Soit P de degré n tel que P
divise P. Dans ce cas, P
est de degré n − 1 et son
coefficient dominant est égal à n fois celui de P, donc il existe a ∈ R tel que
n P = (X − a)P
, c’est-à-dire
P
P
=
n
X − a
. L’expression de la décomposition
en éléments simples de
P
P
dans C[X ] (voir exercice 2.7 page 38) et son unicité
entraînent que a est la seule racine de P dans C, donc P = l(X − a)
n . Inversement,
de tels polynômes conviennent.
Exercice 2.9
Polytechnique MP 2006, Centrale MP 2006
1) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R. Montrer que P
est scindé sur R et que toute
racine multiple de P
est racine de P.
2) Si (a, b, c) ∈ R
3 , montrer que le polynôme Q = X
10 +a X
9 +bX
8 +cX
7 + X +1
n’est pas scindé sur R.
1) On va démontrer sans utiliser l’exercice 2.7 page 38 que si P est scindé dans R,
alors P
également, en faisant appel au théorème de Rolle.
Soient a 1 , . . . , a p les racines de P classées en ordre croissant et r 1 , . . . , r p leurs
ordres de multiplicité. Soit n le degré de P, on a n =
p
i=1
r i . Si r i 2, alors a i
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
qui n’est pas racine de P. On applique la relation précédente en z et on la conjugue, ce qui donne 0 =
m
j=1
r j
z − a j
=
m
j=1
r j
z − a j
|z − a j |
2
, ce
qui signifie que z est barycentre des points a j affectés des coefficients (positifs)
r j
|z − a j |
2
. Si z est racine multiple de P, le résultat est évident.
3) Comme la droite réelle est convexe, tout barycentre à coefficients positifs de
points de cette droite lui appartient également, donc toutes les racines de P
sont
réelles (et sont comprises entre la plus petite et la plus grande racine de P). A
noter qu’on peut retrouver ce résultat en appliquant le théorème de Rolle à P et
en comptant le nombre de racines obtenues.
Le raisonnement est identique pour le demi-plan x > 0 qui est convexe.
Remarque
Cette propriété très importante sera souvent utilisée dans la suite.
Exercice 2.8
Centrale MP 2006 et 2007, Polytechnique MP 2007
Déterminer les polynômes P ∈ R[X ] tels que P
divise P.
Soit P de degré n tel que P
divise P. Dans ce cas, P
est de degré n − 1 et son
coefficient dominant est égal à n fois celui de P, donc il existe a ∈ R tel que
n P = (X − a)P
, c’est-à-dire
P
P
=
n
X − a
. L’expression de la décomposition
en éléments simples de
P
P
dans C[X ] (voir exercice 2.7 page 38) et son unicité
entraînent que a est la seule racine de P dans C, donc P = l(X − a)
n . Inversement,
de tels polynômes conviennent.
Exercice 2.9
Polytechnique MP 2006, Centrale MP 2006
1) Soit P ∈ R[X ] scindé sur R. Montrer que P
est scindé sur R et que toute
racine multiple de P
est racine de P.
2) Si (a, b, c) ∈ R
3 , montrer que le polynôme Q = X
10 +a X
9 +bX
8 +cX
7 + X +1
n’est pas scindé sur R.
1) On va démontrer sans utiliser l’exercice 2.7 page 38 que si P est scindé dans R,
alors P
également, en faisant appel au théorème de Rolle.
Soient a 1 , . . . , a p les racines de P classées en ordre croissant et r 1 , . . . , r p leurs
ordres de multiplicité. Soit n le degré de P, on a n =
p
i=1
r i . Si r i 2, alors a i
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