Remarque
La commande Maple fsolve(P(x),x,complex) permet de connaître une
approximation des racines de P.
Exercice 2.6
Polytechnique-ENS PSI 2005
On considère P =
n
k=0
b k X
k avec 0 < b 0 < . . . < b n et Q = (X − 1)P.
Montrer que si z est une racine complexe de P, alors Q(|z|) 0, et en déduire
que |z| 1.
Après développement, on a Q = b n X
n+1 +
n
k=1
(b k−1 − b k )X
k
− b 0 .
Si P(z) = 0, alors Q(z) = 0, donc b n z
n+1 =
n
k=1
(b k − b k−1 )z
k + b 0 , d’où par inégalité
triangulaire b n |z|
n+1
n
k=1
(b k − b k−1 )|z|
k + b 0 car les coefficients mis en jeu sont
positifs. On en déduit l’inégalité Q(|z|) 0.
Comme b 0 > 0, on a z = 0, d’où P(|z|) > 0 car les coefficients de P sont strictement
positifs. Comme on a Q(|z|) 0, on en déduit que |z| − 1 0.
Exercice 2.7
Centrale MP 2006. Décomposition de P
/P
Soit P ∈ C[X ] non constant.
1) Ecrire la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle
P
P
.
2) Montrer que les racines de P
sont situées dans l’enveloppe convexe des
racines de P (c’est-à-dire en sont barycentres à coefficients positifs).
3) En déduire que si P est scindé sur R, P
également, puis que si toute racine
de P est de partie réelle positive, alors il en va de même pour P
.
1) Comme P est scindé dans C[X ], on peut écrire P = l
m
j=1
(X − a j )
r j , où les
a j , deux à deux distincts, sont les racines de P, et les r j , appartenant à N
∗ , leurs
ordres de multiplicité. On a alors :
P
= l
m
j=1
r j (X − a j )
r j −1
k = j
(X − a k )
r k , d’où
P
P
=
m
j=1
r j
X − a j
.